如图三棱锥中平面为的中点为的中点证明平面平面求多面体的体积

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169056. （2020•西工大附中•一模）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝

，BC＝2，E为AC的中点，F为AD的中点．
（1）证明：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求多面体BCDFE的体积．

共享时间:2020-03-01 难度:2

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）证明：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴CD⊥AB，∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
∵E为AC的中点，F为AD的中点．∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）解：∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝

，BC＝2，EF∥CD，
∴S_梯形CDFE＝

＝

．
以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），B（2，0，

），C（0，0，0），E（1，0，

），D（0，

，0），

＝（2，0，0），

＝（0，

，0），

＝（1，0，

），
设平面CDFE的法向量

＝（x，y，z），
则

，取x＝

，得

＝（

，0，﹣2），
点B到平面CDFE的距离d＝

＝

，
∴多面体BCDFE的体积V＝

＝

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170188. （2023•高新一中•高一下期末）在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱

，顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：平面BCCB′⊥平面AOA′；
（2）求几何体A′﹣BCC′B′的体积．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:2

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:2

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168481. （2021•西安中学•三模）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥C﹣BEF的高h＝

？若存在，请求出

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-04-14 难度:2 相似度:2

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167647. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:2

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168665. （2021•西安中学•仿真）如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM＝

DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．

共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:2

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167430. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.67

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170035. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

共享时间:2023-02-04 难度:3 相似度:1.67

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2023-12-21 难度:3 相似度:1.67

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170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的