如图正三棱锥是某正方体的一部分其所有顶点都是原正方体的顶点已知点分别为的中点一只蚂蚁从点出发沿三棱锥表面爬行到点求该三棱锥的体积蚂蚁爬行的最短路线长

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172006. （2023•西工大附中•高一下期中）如图，正三棱锥V﹣ABC是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝

，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥V﹣ABC表面爬行到点N，求：

（1）该三棱锥V﹣ABC的体积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长．

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，

[校正]

[答案]

（1）

．

（2）

．

[解析]

解：（1）∵AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝

，
∴VA²+VB²＝AB²，VB²+VC²＝BC²，VA²+VC²＝AC²，
∴VA⊥VB，VB⊥VC，VA⊥VC，
∵VB∩VC＝V，∴VA⊥平面VBC，
∴三棱锥的体积为V_V_﹣ABC＝V_A_﹣VBC＝

S△VBC•VA＝

＝

．
（2）情况一，如图，连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

△MCN中，MC＝

，CN＝1，∠MCN＝

，
由余弦定理得MN²＝MC²+CN²﹣2MN•CN•cos

，
即MN²＝

＝1﹣2×

×1×

，解得MN＝

；
情况二，如图，连接MN，AN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

∵AM＝

，AN＝

，∠MAN＝

，
由余弦定理得MN²＝AM²+AN²﹣2AM•AN•cos

，
∵cos

＝cos（

）＝cos

cos

﹣sin

sin

＝

，
∴MN²＝

+3﹣

＝

，则MN＝

，
∵

＝

＞

，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171616. （2024•交大附中•高一下期中）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，

，侧棱长为3，侧面积为

．
（1）求三棱锥B﹣A₁B₁C的体积；
（2）若点D、E分别在三棱柱的棱CC₁，BB₁上，且CD＞BE，线段A₁E，A₁D，DE的延长线与平面ABC交于F、G、H三点，证明：F、G、H共线．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:2

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236846. （2015•西安一中•高一上期末）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E、F分别为PB、PC上的动点，求截面△AEF周长的最小值，并求出此时三棱锥P﹣AEF的体积．

共享时间:2015-02-22 难度:1 相似度:2

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172047. （2023•铁一中学•高一下期中）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC＝AA₁＝1，

，

，P为线段BC₁上的动点．
（1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；
（2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:2

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168526. （2021•西安中学•六模）如图三棱锥A﹣BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
（1）求证：EH∥AB；
（2）若四边形EFGH是边长为1的正方形，且点E是AD的中点，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2，AC＝2

，求三棱锥A﹣BCD的体积．

共享时间:2021-05-18 难度:1 相似度:2

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231517. （2015•西安中学•一模）如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D为棱AB的中点，BC＝1，AA₁＝

．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求三棱锥D﹣A₁B₁C的体积．

共享时间:2015-03-05 难度:1 相似度:2

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167854. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点且

．
（Ⅰ）求证：△PBC为直角三角形；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得三棱锥P﹣AMD的体积为

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:2

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167370. （2024•长安区•高二下一月）将一条长为6的铁丝截成9段，拼成一个正三棱柱，求该三棱柱体积的最大值．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:2

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236493. （2016•西安中学•高一上期末）如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD．△FBC中BC边上的高FH＝2，EF＝

．求该多面体的体积．

共享时间:2016-02-16 难度:1 相似度:2

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236577. （2017•西工大附中•高一下期末）正四棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，它的侧面积是

，求该正四棱台的体积．

共享时间:2017-07-25 难度:1 相似度:2

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236578. （2017•西工大附中•高一下期末）已知一三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的三视图如图所示．
（1）画出该三棱台的直观图．
（2）求这三棱台的体积．

共享时间:2017-07-25 难度:1 相似度:2

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233322. （2023•西工大附中•高一下二月）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A₁B₁C₁D₁，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁（如图所示），并要求正四棱柱的高O₁O是正四棱锥的高PO₁的4倍．
（1）若AB＝6m，PO₁＝2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO₁为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，
最大面积是多少？