如图在四棱锥中底面正方形为侧棱的中点为的中点求四棱锥体积证明平面证明平面平面

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170035. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

共享时间:2023-02-04 难度:3

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行，平面与平面垂直，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（I）V_P_﹣ABCD＝

＝

．
证明：（II）取PC的中点M，连结ME，MF，
∵E，M是PD，PC的中点，
∴ME∥CD，ME＝

．
∵四边形ABCD是正方形，F是AB的中点，
∴AF∥CD，AF＝

，
∴AF∥ME，AF＝ME，
∴四边形AFME是平行四边形，
∴AE∥MF，又AF⊄平面PFC，FM⊂平面PFC，
∴AE∥平面PFC．
（III）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA⊂PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，
∴AB⊥AE，又四边形AFME是平行四边形，
∴四边形AFME是矩形，
∴FM⊥ME，
∵PA＝AB＝BC，AF＝BF，∠PAB＝∠CBF＝90°，
∴Rt△PAF≌Rt△CBF，
∴PF＝CF，∵M是PC中点，
∴FM⊥PC．
又FM⊥PC，PC⊂平面PCD，ME⊂平面PCD，PC∩ME＝M，
∴FM⊥平面PCD，∵FM⊂平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PCD．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行，平面与平面垂直，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167430. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:2

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167647. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.67

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167739. （2024•西安一中•四模）如图，几何体ABC﹣DEF为三棱台．
（1）证明：DE∥平面ABF．
（2）已知平面ACFD⊥平面DEF，AC⊥BC，AC＝AD＝CF＝6，BC＝3，DF＝12，求三棱台ABC﹣DEF的体积．
参考公式：台体的体积

，其中S₁，S₂分别为台体的上底面面积、下底面面积，h为台体的高．

共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.67

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67

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167900. （2024•西安八十九中•三模）如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67

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168010. （2023•师大附中•十模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣C₁DE的体积．

共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:1.67

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168034. （2023•西安中学•七模）如图①，已知△AB′C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B'C，如图②，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH．

（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为

，求三棱锥B﹣DCH的体积．

共享时间:2023-06-04 难度:2 相似度:1.67

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168318. （2021•西安中学•十模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD＝∠BCE＝

，∠ECD＝120°，BC＝CD＝CE＝2AD＝2BG＝2．
（1）求证：AG∥平面BDE；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2021-07-10 难度:2 相似度:1.67

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.34

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167236. （2023•周至六中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.34

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．