如图四棱锥的底面是矩形底面为的中点且证明平面平面若求四棱锥的体积

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直，

[答案]

答案详见解答

[解析]

（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM，
又∵PB⊥AM，
PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD．
∴AM⊥平面PBD．
∵AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD；
（2）解：由PD⊥底面ABCD，
∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形；
∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．

设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E，
连接MF，AF，AE，
可得MF∥PB，EF∥DP，
那么AM⊥MF．且EF＝

．AE＝

，AM＝

，

．
那么△AMF是直角三角形，
∵△DPB是直角三角形，
∴根据勾股定理：BP＝

，则MF＝

；
由△AMF是直角三角形，
可得AM²+MF²＝AF²，
解得a＝

．
底面ABCD的面积S＝

，
则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝

＝

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169056. （2020•西工大附中•一模）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝

，BC＝2，E为AC的中点，F为AD的中点．
（1）证明：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求多面体BCDFE的体积．

共享时间:2020-03-01 难度:2 相似度:2

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170188. （2023•高新一中•高一下期末）在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱

，顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：平面BCCB′⊥平面AOA′；
（2）求几何体A′﹣BCC′B′的体积．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:2

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168481. （2021•西安中学•三模）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥C﹣BEF的高h＝

？若存在，请求出

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-04-14 难度:2 相似度:2

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168665. （2021•西安中学•仿真）如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM＝

DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．

共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:2

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167647. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:2

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167430. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.67

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170035. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

共享时间:2023-02-04 难度:3 相似度:1.67

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2023-12-21 难度:3 相似度:1.67

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172047. （2023•铁一中学•高一下期中）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC＝AA₁＝1，

，

，P为线段BC₁上的动点．
（1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；
（2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.5

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168526. （2021•西安中学•六模）如图三棱锥A﹣BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
（1）求证：EH∥AB；
（2）若四边形EFGH是边长为1的正方形，且点E是AD的中点，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2，AC＝2

，求三棱锥A﹣BCD的体积．

共享时间:2021-05-18 难度:1 相似度:1.5

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167854. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点且

．
（Ⅰ）求证：△PBC为直角三角形；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得三棱锥P﹣AMD的体积为

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.5

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172006. （2023•西工大附中•高一下期中）如图，正三棱锥V﹣ABC是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝

，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥V﹣ABC表面爬行到点N，求：

（1）该三棱锥V﹣ABC的体积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长．

共享时间:2023-05-10 难度:1 相似度:1.5

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170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的