已知函数求曲线在处的切线方程证明有唯一的极值点且

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168483. （2021•西安中学•三模）已知函数f（x）＝（x+1）（2e^x﹣1）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程；
（2）证明f（x）有唯一的极值点x₀，且

．

共享时间:2021-04-14 难度:2

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[考点]

利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[校正]

[答案]

（1）y＝（

﹣1）x+

﹣1；（2）详见证明过程．

[解析]

解：（1）∵f（x）＝（x+1）（2e^x﹣1），f（﹣1）＝0，
∴f′（x）＝（x+2）•2e^x﹣1，f′（﹣1）＝

﹣1，
∴切线方程是：y﹣0＝（

﹣1）（x+1），
即y＝（

﹣1）x+

﹣1；
（2）证明：由（1）f″（x）＝（x+3）•2e^x，
令f″（x）＞0，解得：x＞﹣3，令f″（x）＜0，解得：x＜﹣3，
故f′（x）在（﹣∞，﹣3）递减，在（﹣3，+∞）递增，
故f′（x）_min＝f′（﹣3）＝﹣

﹣1＜0，
当x＜﹣3时，f′（x）＝（x+2）•2e^x﹣1＜0，
当x＞﹣3时，f′（﹣

）＝

﹣1＞0，f′（﹣1）＝

﹣1＜0，
∴f′（x）存在唯一零点x₀∈（﹣1，﹣

），
故f′（x₀）＝0即（x₀+2）•2

＝1，
故f（x）在（﹣∞，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
∴f（x）_极小值＝f（x₀），f（x）有唯一的极值点x₀，
f（x₀）＝（x₀+1）（2

﹣1）＝（x₀+2）•2

﹣（x₀+1）﹣2

＝﹣x₀﹣2

，
显然f（x₀）在（﹣1，﹣

）单调递减，
∴f（x₀）＜f（﹣1）＝0＜

﹣

，f（x₀）＞f（﹣

）＝

﹣

≈

﹣

＝﹣

，
∴f（x）有唯一的极值点x₀，且

．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166838. （2024•西安八十五中•一模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣a³．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:2

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271264. （2025•西工大附中•高二下二月）设函数

．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y＝2x﹣1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）＝λx²（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．

共享时间:2025-06-14 难度:2 相似度:2

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257256. （2023•陕西省•乙卷）已知函数f（x）＝（

+a）ln（1+x）．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线y＝f（

）关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．

共享时间:2023-06-17 难度:2 相似度:2

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237064. （2021•长安区一中•高二上期中）已知函数f（x）＝

．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

共享时间:2021-11-16 难度:2 相似度:2

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232829. （2023•西安市•高三上五月）已知函数f（x）＝e^2x﹣ax²（a＞0）．
（1）若a＝1，求函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上存在极大值点x₀，求证：

．

共享时间:2023-12-14 难度:2 相似度:2

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237357. （2021•西工大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝﹣x²+ax+2lnx（a∈R）．
（1）当a＝2时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数g（x）＝f（x）﹣ax+2在区间

上零点的个数．

共享时间:2021-05-16 难度:2 相似度:2

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230820. （2022•临潼区•二模）已知函数f（x）＝cosx﹣ax²，其中a∈R．
（1）当

时，求函数f（x）在

处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[﹣π，π]上恰有两个极小值点x₁，x₂，求a的取值范围．

共享时间:2022-03-18 难度:2 相似度:2

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230797. （2022•临潼区•二模）已知函数f（x）＝cosx﹣ax²，其中a∈R．
（1）当

时，求函数f（x）在

处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[﹣π，π]上恰有两个极小值点x₁，x₂，求a的取值范围．

共享时间:2022-03-18 难度:2 相似度:2

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171868. （2022•西安中学•高二上期中）已知函数

，a∈R．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递减，求a的取值范围：
（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：

．

共享时间:2022-11-21 难度:2 相似度:2

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168059. （2023•长安区一中•二模）已知

．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若g（x）＝f（x）+mx²，记x₁，x₂为函数g（x）的两个极值点，求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:2

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167764. （2024•西安一中•三模）已知曲线

在点（0，f（0））处的切线的斜率为3，且当x＝3时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若存在x∈[0，3]，使得不等式f（x）﹣m≤0成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-04-15 难度:3 相似度:1.67

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232616. （2023•鄠邑二中•高三上三月）已知函数f（x）＝

．
（Ⅰ）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，并求其最大值和最小值．

共享时间:2023-01-21 难度:3 相似度:1.67

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231588. （2015•西安一中•二模）已知函数f（x）＝（x³﹣6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4x﹣y+1＝0，则求t的值
（Ⅱ）若函数y＝f（x）有三个不同的极值点，求t的值；
（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

共享时间:2015-03-23 难度:3 相似度:1.67

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168437. （2021•西安中学•七模）已知函数f（x）＝

．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤e^x+

﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-06-06 难度:3 相似度:1.67

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232110. （2024•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（0，-2）处的切线斜率为-1，且在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最值．

共享时间:2024-04-28 难度:3 相似度:1.67

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lg@dyw.com

2021-04-14

高中数学 | | 解答题

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2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（文科）（三）

更新:2021-04-14 05:56浏览量:51

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