已知函数若函数在点处的切线方程为则求的值若函数有三个不同的极值点求的值若存在实数使对任意的不等式恒成立求正整数的最大值

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231588. （2015•西安一中•二模）已知函数f（x）＝（x³﹣6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4x﹣y+1＝0，则求t的值
（Ⅱ）若函数y＝f（x）有三个不同的极值点，求t的值；
（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

共享时间:2015-03-23 难度:3

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[考点]

利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x³﹣6x²+3x+t）e^x，
则f′（x）＝（x³﹣3x²﹣9x+3+t）e^x，
函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）＝3+t，
由题意可得，3+t＝4，解得，t＝1；

（Ⅱ） f′（x）＝（x³﹣3x²﹣9x+3+t）e^x，
令g（x）＝x³﹣3x²﹣9x+3+t，则方程g（x）＝0有三个不同的根，
又g′（x）＝3x²﹣6x﹣9＝3（x²﹣2x﹣3）＝3（x+1）（x﹣3）
令g′（x）＝0得x＝﹣1或3
且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，
故问题等价于

即有

，解得，﹣8＜t＜24；

（Ⅲ）不等式f（x）≤x，即（x³﹣6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^﹣x﹣x³+6x²﹣3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^﹣x﹣x³+6x²﹣3x恒成立．
即不等式0≤xe^﹣x﹣x³+6x²﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^﹣x﹣x²+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）＝e^﹣x﹣x²+6x﹣3，则φ'（x）＝﹣e^﹣x﹣2x+6．
设r（x）＝φ'（x）＝﹣e^﹣x﹣2x+6，则r'（x）＝e^﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）＝4﹣e^﹣1＞0，r（2）＝2﹣e^﹣2＞0，r（3）＝﹣e^﹣3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）＝φ'（x₀）＝0．
当1≤x＜x₀时，有φ'（x）＞0，当x＞x₀时，有φ'（x）＜0．
从而y＝φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x₀，+∞）上递减．
又φ（1）＝e^﹣1+4＞0，φ（2）＝e^﹣2+5＞0，φ（3）＝e^﹣3+6＞0，φ（4）＝e^﹣4+5＞0，
φ（5）＝e^﹣5+2＞0，φ（6）＝e^﹣6﹣3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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