已知函数当时求曲线在点处的切线方程若有极小值且极小值小于求的取值范围

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166838. （2024•西安八十五中•一模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣a³．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

共享时间:2024-03-12 难度:2

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[考点]

利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[答案]

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[解析]

解：（1）∵函数f（x）＝e^x﹣ax﹣a³，
∴当a＝1时，f（x）＝e^x﹣x﹣1，f′（x）＝e^x﹣1，
∴f（1）＝e﹣2，∴切点坐标为（1，e﹣2），
切线的斜率为k＝f′（1）＝e﹣1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），整理得：y＝（e﹣1）x﹣1．
（2）∵函数f（x）＝e^x﹣ax﹣a³，∴f′（x）＝e^x﹣a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值，
∴a＞0，
令f′（x）＝e^x﹣a＝0，得x＝lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，当x＞lna时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna），
∴f（x）_极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a³＜0，
∴1﹣lna﹣a²＜0，
令g（a）＝﹣a²﹣lna+1，

＜0，
g（a）在（0，+∞）上单调递减，
∵g（1）＝0，∴g（a）＜0等价于a＞1，
∴a的取值范围是（1，+∞）．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171868. （2022•西安中学•高二上期中）已知函数

，a∈R．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递减，求a的取值范围：
（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：

．

共享时间:2022-11-21 难度:2 相似度:2

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168059. （2023•长安区一中•二模）已知

．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若g（x）＝f（x）+mx²，记x₁，x₂为函数g（x）的两个极值点，求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:2

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168483. （2021•西安中学•三模）已知函数f（x）＝（x+1）（2e^x﹣1）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程；
（2）证明f（x）有唯一的极值点x₀，且

．

共享时间:2021-04-14 难度:2 相似度:2

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167764. （2024•西安一中•三模）已知曲线

在点（0，f（0））处的切线的斜率为3，且当x＝3时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若存在x∈[0，3]，使得不等式f（x）﹣m≤0成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-04-15 难度:3 相似度:1.67

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168437. （2021•西安中学•七模）已知函数f（x）＝

．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤e^x+

﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-06-06 难度:3 相似度:1.67

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169740. （2023•师大附中•高二下期末）已知函数f（x）＝x³+ax²+bx+c在点P（1，2）处的切线斜率为4，且在x＝﹣1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m﹣1有三个零点，求m的取值范围．

共享时间:2023-07-03 难度:1 相似度:1.5

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169149. （2020•西工大附中•二模）已知函数f（x）＝

﹣x+（x+1）ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若∀x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），求实数a的取值范围．

共享时间:2020-03-17 难度:1 相似度:1.5

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169485. （2024•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝lnx+x²﹣ax（a∈R）．
（1）设函数g（x）＝f（x）﹣x²，若函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且

，求f（x₁）﹣f（x₂）的取值范围．

共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:1.5

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169439. （2024•西安中学•高二下期末）已知函数f（x）＝x²﹣alnx（a∈R）．
（1）若a＝2，求f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）+（1﹣2a）x恰有两个零点，求a的取值范围．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:1.5

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170466. （2022•西工大附中•高一下期末）．已知函数f（x）＝axlnx﹣bx²﹣ax．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

，求a，b的值；
（Ⅱ）若a≤0，

时，∀x₁，x₂∈（1，e），都有

，求a的取值范围．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

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167369. （2024•长安区•高二下一月）已知函数

在x＝5处取得极小值，且极小值为﹣33．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，0]上的值域．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.5

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167305. （2023•长安区一中•高三上四月）已知函数

，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t₁，t₂，t₃（t₁＜t₂＜t₃）和两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（ⅰ）证明：f（x₁）+f（x₂）＝0；
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明：

．

共享时间:2023-02-23 难度:1 相似度:1.5

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169631. （2024•西安三中•高二上期末）已知曲线f（x）＝x³﹣x，
求（1）曲线在点（﹣1，0）处的切线方程；
（2）曲线过点（﹣1，0）的切线方程；
（3）曲线平行于直线11x﹣y+1＝0的切线方程．

共享时间:2024-02-04 难度:1 相似度:1.5

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168966. （2021•交大附中•四模）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）﹣sinx．
（1）证明：函数f（x）在区间（0，π）上存在唯一的极小值点；
（2）证明：函数f（x）有且仅有两个零点．

共享时间:2021-04-20 难度:1 相似度:1.5

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168920. （2021•高陵一中•二模）已知函数f（x）＝e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y＝k（x﹣1）与f（x）的图像相切，求实数k的值；
（Ⅱ）设x＞0，若曲线y＝f（x）与y＝mx²（m＞0）有且只有一个公共点，求实数m的值；
（Ⅲ）设a＜b，比较

与

的大小，并说明理由．

共享时间:2021-03-23 难度:1 相似度:1.5

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2024-03-12

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2024-2025学年陕西省西安八十五中高三（上）第一次模拟数学试卷

更新:2024-03-12 06:30浏览量:4

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