如图直四棱柱的底面是菱形分别是的中点证明平面求点到平面的距离

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

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[考点]

点、线、面间的距离计算，

[答案]

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[解析]

解法一：
证明：（1）连结B₁C，ME，∵M，E分别是BB₁，BC的中点，
∴ME∥B₁C，又N为A₁D的中点，∴ND＝

A₁D，
由题设知A₁B₁

DC，∴B₁C

A₁D，∴ME

ND，
∴四边形MNDE是平行四边形，
MN∥ED，
又MN⊄平面C₁DE，∴MN∥平面C₁DE．
解：（2）过C作C₁E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C₁C，
∴DE⊥平面C₁CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C₁DE，故CH的长即为C到平面C₁DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC₁＝4，
∴C₁E＝

，故CH＝

，
∴点C到平面C₁DE的距离为

．
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，
AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
∴DD₁⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
M（1，

，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，

，0），C₁（﹣1，

，4），

＝（0，﹣

，0），

＝（﹣1，

），

＝（0，

），
设平面C₁DE的法向量

＝（x，y，z），
则

，
取z＝1，得

＝（4，0，1），
∵

•

＝0，MN⊄平面C₁DE，
∴MN∥平面C₁DE．
解：（2）C（﹣1，

，0），

＝（﹣1，

，0），
平面C₁DE的法向量

＝（4，0，1），
∴点C到平面C₁DE的距离：
d＝

＝

．

[点评]

本题考查了"点、线、面间的距离计算，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:2

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:2

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:2

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:2

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166431. （2024•西光中学•高二上一月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积为4，△A₁BC的面积为

．
（1）求A到平面A₁BC的距离；
（2）设D为A₁C的中点，AA₁＝AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1.5

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168825. （2021•西工大附中•十二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形B₁BCC₁是菱形，∠B₁BC＝60°，AB⊥BC，AB⊥BB₁，D为棱BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC＝2，求点C到平面AB₁D的距离．

共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:1.5

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170418. （2022•长安区一中•高二上期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2AD，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离．

共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:1.5

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170368. （2022•长安区一中•高二下期末）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得

，如图2．
（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；
（2）求C到平面PBE的距离．

共享时间:2022-07-05 难度:2 相似度:1.5

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169876. （2023•长安区一中•高一下期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E为P在底面ABC内的投影，且E为△ABC的垂心．
（1）若F为C在PAB内的投影，证明：PF⊥AB；
（2）当三棱锥P﹣ABC为正三棱锥且AB＝6，PC与平面ABC所成角为

时，求点C到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1.5

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169739. （2023•师大附中•高二下期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且

＝2，求点M到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:1.5

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169612. （2024•滨河中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|＝2，|BC|＝|CD|＝1，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠APB＝90°，|PA|＝|PB|．
（1）求点D到平面PAC的距离；
（2）求二面角A﹣BD﹣P的正切值．

共享时间:2024-07-23 难度:2 相似度:1.5

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169350. （2024•师大附中•高一下期末）在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1.5

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168503. （2021•西安中学•三模）在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD＝90°，EF∥BC，EF＝

BC，AC＝2，AE＝EC＝

．
（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；
（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．

共享时间:2021-04-03 难度:2 相似度:1.5

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168573. （2021•西安中学•九模）．如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁＝1：1：

：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）若CO＝

，求点C到平面ABO的距离．

共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1.5

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166586. （2024•华清中学•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，∠ADC＝45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，AD＝3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小．
（2）求直线AD到平面PBC的距离．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1.5

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dygzsxyn

2021-04-28

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2021年陕西省西安中学高考数学四模试卷（文科）

更新:2021-04-28 11:59浏览量:12

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