已知函数的定义域为且对任意实数有当时则下列结论正确的是是上的单调递增函数为偶函数为奇函数

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166228. （2024•师大附中•高一上二月）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝4，且对任意实数m，n，有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣2，当x＞0时，f（x）＞2．则下列结论正确的是（　　）

A.f（﹣1）＝0

B.．f（x）是R上的单调递增函数

C.f（x）为偶函数

D.f（x）﹣2为奇函数

共享时间:2024-12-16 难度:2

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[考点]

函数的单调性，抽象函数的奇偶性，

[答案]

ABD

[解析]

解：对于A，令m＝1，n＝0，
则有f（1）＝f（1）+f（0）﹣2，
解得f（0）＝2，
令m＝1，n＝﹣1，
则有f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣2，
即2＝4+f（﹣1）﹣2，
解得f（﹣1）＝0，故正确；
对于B，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则x₂﹣x₁＞0，
所以f（x₂﹣x₁）＞2，
所以f（x₁）﹣f（x₂）＝f（x₁）﹣f[（x₂﹣x₁）+x₁]＝f（x₁）﹣f（x₂﹣x₁）﹣f（x₁）+2＝2﹣f（x₂﹣x₁）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以函数y＝f（x）在R上单调递增，故正确；
对于C，令n＝﹣m，
则有f（0）＝f（m）+f（﹣m）﹣2，
又f（0）＝2，
所以f（﹣m）+f（m）＝4，
即f（﹣x）+f（x）＝4，故无法判断函数的奇偶性，故错误；
对于D，令g（x）＝f（x）﹣2，
由C可知f（﹣x）+f（x）＝4，
所以f（﹣x）﹣2＝﹣f（x）+2＝﹣[f（x）﹣2]，
即g（﹣x）＝﹣g（x），
所以g（x）为奇函数，
即f（x）﹣2为奇函数，故正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"函数的单调性，抽象函数的奇偶性，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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A.f（5）＝2

B.f（x）的图象关于直线x＝2对称

C.f（x+1）是偶函数

D.f（x）的图象关于点（2，0）中心对称

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.5

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A.．f（1）＝0

B.．函数f（x）在（0，+∞）上是减函数

C.．

D.．不等式的解集为[4，+∞）

共享时间:2023-11-13 难度:1 相似度:1.5

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D.2

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在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，0]

C.．[﹣1，0]

B.．[﹣1，1]

D.[0，+∞）

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1

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共享时间:2025-02-26 难度:2 相似度:1

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B.f（x）的图象关于直线x＝2对称

C.f（x）的最小正周期为2

D.f（1）+f（2）+…+f（30）＝﹣1

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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:0.83

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dygzsxyn

2024-12-16

高中数学 | 高一上 | 选择题

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