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2023-2024学年陕西省西安市高新一中创新班八年级（上）期中数学试卷

试卷总分:120分命题人:dyczsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(10小题共30分)

1. （本题3分）下列运算正确的是（　　）

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2. （本题3分）如图，在矩形AOBC中，A（﹣2，0），B（0，1）．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为（　　）

B.．

C.．﹣2

D.．2

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3. （本题3分）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的值是（　　）

A.．3

B.．2

C.1

D.．﹣1

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4. （本题3分）估计（

）×

的值大约在（　　）

A.3和4之间

B.4和5之间

C.5和6之间

D.．6和7之间

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5. （本题3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组

的解是（　　）

A.	B.．
C.．	D.

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6. （本题3分）已知xy＞0，化简代数式

结果正确的是（　　）

B.．

C.．

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7. （本题3分）下列图形中，表示一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象的是（　　）

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8. （本题3分）已知a、b为有理数，且满足

，则a﹣b等于（　　）

A.﹣2

B.﹣4

C.．2

D.4

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9. （本题3分）甲乙两车从A城出发匀速驶向B城，在整个行驶过程中，两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图，下列结论正确的有（　　）个
①A、B两城相距300千米；
②甲车比乙车早出发1小时，却晚到1小时；
③相遇时乙车行驶了2.5小时；
④当甲乙两车相距50千米时，t的值为

或

．

A.1

B.2

C.．3

D.．4

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10. （本题3分）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边三角形OAB，点A的坐标为（4，0）若直线y＝kx﹣3k﹣1与△OAB有交点，则k的取值范围是（　　）

A.	B.
C.或k≥1	D.或k≥1

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二、填空题(7小题共21分)

11. （本题3分）在﹣1.732，

，π，3.

，

，0，

中，有理数有　　个．

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12. （本题3分）已知

，则ab的立方根为　　．

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13. （本题3分）杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm，请你写出秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤钩所挂重物x（kg）之间的函数关系式：　．

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14. （本题3分）已知关于x，y的方程组

的解满足x﹣y＝4，则a的值为　　．

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15. （本题3分）若点P的坐标是（2，﹣4），平行于x轴的线段PQ的长为5，则点Q的坐标是　　．

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16. （本题3分）若方程组

的解是

则关于x、y的方程组

的解是　．

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17. （本题3分）如图，直线

与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB，BO上的两个动点，

，∠BAO＝30°，则△PCD周长的最小值为　．

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三、解答题(8小题共69分)

18. （本题8分）计算：
（1）

；
（2）（2

）（

+2）+（3﹣

）²．

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19. （本题8分）解方程组：
（1）

；
（2）

．

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20. （本题7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．

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21. （本题7分）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，

，

，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请判断：2，8，18这三个数　　 “和谐组合”（填“是”或“不是”）．
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的4倍，求a的值．

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22. （本题8分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6．动点E以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒3个单位长度的速度返回点C，点E回到点C时停止运动．连接AE，设运动时间为t秒，△ACE的面积为y．
（1）请你求出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的如图2平面直角坐标系中画出这个函数的图象．

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23. （本题9分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+3经过点（4，﹣3），与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上有一个点M（1，n）．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）若点P在y轴上，当△PAM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．

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24. （本题10分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：

	A	B
进价（万元/套）	3	2.4
售价（万元/套）	3.3	2.8

（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金141万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求m取多少套时能获得最大利润，并计算最大利润是多少万元？

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25. （本题12分）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA．过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．易证得△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”．

【问题初探】如图1，创新小组同学对“K型图”非常感兴趣，他们记EC＝a，DC＝b，（a＜b），AB＝c，他们提出以下猜想：
①a+b＜c；②

；③

．
以上猜想中你认为正确的有　②③　（填序号）；
【应用探究】如图2，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求△PQR的面积．
【拓展延伸】
随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图3，设计师标记公园原址为长方形AOBC，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是（0，30），（20，0）．设计师准备在原花园的两边OA和OB上分别选取点D和点E，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形DEF区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使得点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点F的位置，并求出CF的最小值．

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dyczsxyn

2024-11-14

初中数学 | 考试 | 难度:1.56

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