如图等腰直角三角形中过作于点过作于点易证得无需证明我们将这个模型称为一线三等角或者叫形图问题初探如图创新小组同学对型图非常感兴趣他们记他们提出以下猜想以上猜想中你认为正确的有填序号应用探究如图在平面直角坐标系内已知直线与轴交于点与轴交于点将直线绕点沿顺时针方向旋转

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197674. （2024•高新一中•八上期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA．过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．易证得△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”．

【问题初探】如图1，创新小组同学对“K型图”非常感兴趣，他们记EC＝a，DC＝b，（a＜b），AB＝c，他们提出以下猜想：
①a+b＜c；②

；③

．
以上猜想中你认为正确的有　②③　（填序号）；
【应用探究】如图2，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求△PQR的面积．
【拓展延伸】
随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图3，设计师标记公园原址为长方形AOBC，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是（0，30），（20，0）．设计师准备在原花园的两边OA和OB上分别选取点D和点E，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形DEF区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使得点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点F的位置，并求出CF的最小值．

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[考点]

一次函数综合应用，

[答案]

（1）②③；

（2）△PQR的面积为

；

（3）F（﹣5，5），CF的最小值为25

．

[解析]

解：（1）当C为DE中点时，a＝b，
此时BE＝CE＝CD＝AD＝a，
∴BC＝AC＝

a，
∴c＝

BC＝2a＝a+b，故①错误；
∵a＞0，b＞0，
∴2ab＞0，
∴a²+b²+2ab＞a²+b²，即（a+b）²＞a²+b²，
∴a+b＞

；故②正确；
∵BC²＝a²+b²＝AC²，
∴c²＝BC²+AC²＝2（a²+b²），
∴2（a²+b²+2ab）＞c²，即2（a+b）²＞c²，
∴

（a+b）＞c，故③正确；
故答案为：②③；
（2）过Q作TK∥y轴，过Q作QW⊥PQ交PR于W，作P作PT⊥KT于T，过W作WK⊥KT于K，如图：

由y＝﹣4x+4可得P（0，4），Q（1，0），
∴OP＝TQ＝4，PT＝OQ＝1，
∵直线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R，
∴△PQW是等腰直角三角形，
由阅读材料：“K形图”可知△PTQ≌△QKW（AAS），
∴WK＝TQ＝4，QK＝PT＝1，
∴W（﹣3，﹣1），
由P（0，4），W（﹣3，﹣1）得直线PW的解析式为y＝

x+4，
在y＝

x+4中，令y＝0得x＝﹣

，
∴R（﹣

，0），OR＝

，
∴QR＝

，
∴△PQR的面积为

×4＝

；
（3）过F作GH∥y轴交x轴于H，过D作DG⊥GH于G，如图：

∵△DEF是等腰直角三角形，
∴△DGF≌△FHE（AAS），
∴DG＝FH，
设DG＝FH＝x，则F（﹣x，x），
∵A（0，30），B（20，0），
∴C（20，30），
∴CF＝

＝

，
∴当x＝5时，CF取最小值

＝25

，
∴F（﹣5，5），CF的最小值为25

．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

197373. （2024•师大附中•八上期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x过第一象限内一点A，AD⊥y轴，垂足为D，点B在y轴正半轴上，连接AB，作AC⊥AB交x轴于点C．
问题提出
（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：AB=AC；
问题解决
（2）①如图2，当点B在OD延长线上，点C在x轴正半轴上时，OA、OB、OC之间的数量关系为；
②当点B在OD延长线上，点C在x轴负半轴上时，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明原因；
拓展延伸
（3）直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点E、F，若BE=6，CF=8，则AB的长为．
$德优题库$

共享时间:2024-11-29 难度:5 相似度:2

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189993. （2025•新城区•八上期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y＝kx+b（k≠0）与直线l₂：y＝3x交于点A（1，a），与y轴交于点B，与x轴交于点C（

，0）．
（1）求直线l₁的函数表达式；
（2）方程组

的解为　　；
（3）在直线l₂上是否存在一点P，使得S_△OCP＝2S_△AOC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-13 难度:5 相似度:2

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179709. （2024•铁一中学•八上期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线

交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接AC．
（1）C的坐标是　　；
（2）在x轴上是否存在一点D，使得△ACD是等腰三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由；
（3）直线x＝a（a≠﹣4）交直线AC于点E、交直线AB于点F，点Q为y轴上的一个动点，△QEF为等腰直角三角形，请直接写出a的值．

共享时间:2024-11-13 难度:5 相似度:2

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180199. （2023•唐南中学•八上二月）（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．

共享时间:2023-12-22 难度:5 相似度:2

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181057. （2023•华山中学•八上二月）如图，直线l_AB：y＝﹣

的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
（1）求线段OC的长；
（2）若点E是点C关于y轴的对称点，求△BED的面积；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．

共享时间:2023-12-23 难度:5 相似度:2

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181228. （2023•爱知中学•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．

（1）求直线BC对应的函数表达式．
（2）如图①，点G是线段BC上一点，且点G满足

，求点G的坐标．
（3）如图②，点P是第二象限内一点，当△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形时，求点P的坐标．

共享时间:2023-12-18 难度:5 相似度:2

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181252. （2024•西光中学•八下二月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（1，0），点C的横坐标为4．
（1）求直线CD的函数解析式：
（2）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-06-24 难度:5 相似度:2

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181298. （2023•西航一中•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．
（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．

共享时间:2023-12-23 难度:5 相似度:2

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181567. （2024•曲江一中•八下二月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线y=4x向下平移4个单位长度得到直线l₂，直线l₂与x轴交于点B，与l₁相交于点C．
（1）直线l₂的解析式为；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-06-21 难度:5 相似度:2

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181591. （2023•曲江一中•八上二月）问题发现：
如果一条直线把个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线．
问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线

与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段AB上的一点且OD平分△AOB的面积，则D点坐标　（2，1）　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，C与原点重合，D（0，4），A（﹣2，4），B（﹣6，0），点P是AB的中点，点Q在CD上，当PQ是四边形ABCD的一条面积等分线时，求Q点坐标，并求出直线PQ的表达式．
问题解决
（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形ABCD是神奇农场的种植园，A与原点重合，D、B分别在x轴、y轴上，其中AB＝12，BC＝20，出入口E在边AD上，且AE＝4，拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H，沿EF、GH修两条笔直的道路（路的宽度不计）将种植园分成四块，在每一块内各种植一种蔬菜，并要求四种蔬菜的种植面积相等．请你求出此时F、G、H三点的坐标．

共享时间:2023-12-10 难度:5 相似度:2

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189890. （2025•高新一中•八上期末）菲菲同学在数学兴趣小组中探究了这样一个折叠问题：
（1）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B（0，4）分别是坐标轴上的两点，当∠BAO=30°时，将△AOB沿边AB翻折得到△ABC，点O的对应点为C，则点C的坐标为；
（2）如图②，点E为平面直角坐标系内一点，过E作ED⊥x轴于点D，点B为y轴上一点，点A为线段OD上一动点，将△AOB沿AB翻折得到△ABC，且E（16，17），B（0，5），当点C落在BE的连线上时，试求AE所在直线的函数表达式；
（3）如图③，菲菲同学来到一家工厂，恰逢工厂师傅正在进行某一零件的剪裁，正好遇到了一个问题需要她的帮助：四边形OBED是该零件平面示意图的一部分，A，C分别是OD，BE上两点，且∠AOB=∠ACB=∠ODE=90°，OB=BC=2dm,OD=DE=8dm,现准备在DE边上确定一点F，画出一条分割线CF，使得CF平分四边形ADEC的面积，若存在点F，请求出EF的长度，若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-02-07 难度:5 相似度:2

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190092. （2025•西咸新区•八上期末）如图，直线l₁与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l₂：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l₁与l₂交于点E（2，m）．
（1）求m的值和直线l₁的表达式；
（2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标；
（3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-02-08 难度:5 相似度:2

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179507. （2024•高新一中•八上期中）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的同侧，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，连接PP′，称△PHP′为“反V三角形”．在平面直角坐标系xOy中： $德优题库$

（1）如果点P（0，4），H（2，0），那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；
（2）已知点A（0，a），过点A作平行于x轴的直线l.如果点B（5，3）关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=-x+4上，求点B′的坐标和a的值；
（3）如果点P为直线y=2x-4上一点，点P关于直线y=2的反射点为P′，点H为V点，如果反V△PHP′为直角三角形，且面积为8，求反射点P′的坐标．

共享时间:2024-11-25 难度:5 相似度:2

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190221. （2025•经开区•八上期末）【问题提出】
如图①，直线l：y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A（0，4），B（3，0）．
（1）直线l的函数表达式为；
（2）过线段AB的中点E（a,2）作一条直线与x轴交于点F，当△BEF为直角三角形时，求出所有满足条件的点F的坐标；
【问题解决】
（3）如图②，Rt△ABO是某地市政施工的一块区域示意图，其中∠AOB=90°，OA=40米，OB=30米．按设计要求，要在直线BO上任取一点C，连接AC，在AC右侧作△ACD区域，且△ACD为等腰直角三角形，∠ACD=90°．为了便于确定点D的位置，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为（0，40），点B的坐标为（30，0）．现对△ABD区域进行围挡施工，为节约材料，要求围挡区域的△ABD周长最小，请你根据以上信息求出符合要求的△ABD的周长，并说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-02-04 难度:5 相似度:2

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190273. （2025•鄠邑区•八上期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点B（-4，0），与y轴交于点A，直线y=-2x+4过点A，与x轴交于点C．
$德优题库$
（1）点A的坐标是；直线AB的函数表达式；
（2）若点P是直线AB上一动点，且S_△PBC=S_△AOB，求P点的坐标；
（3）点M在第二象限，当S_△MAB=S_△AOB时，动点N从点B出发，先运动到点M，再从点M运动到点C后停止运动．点N的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请求出t的最小值．

共享时间:2025-02-11 难度:5 相似度:2

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2024-11-14

初中数学 | 八年级上 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市高新一中创新班八年级（上）期中数学试卷

更新:2024-11-14 08:53浏览量:23

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