如图为的直径是的切线且连接交于点为的中点连接交于点连接求证若求的长

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284271. （2023•铁一中学•四模） $德优题库$ 如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AC=AB，连接CB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接BE交⊙O于点F，连接AD，CF，DF，AF．
（1）求证：CE²=EF•EB；
（2）若DF=1，求AF的长．

共享时间:2023-04-24 难度:1

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相似

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[考点]

相似三角形的判定与性质，

[校正]

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
∴△AEF∽△BEA，
∴

，
∴AE²＝EF•BE．
∵E为AC的中点，
∴AE＝EC，
∴CE²＝EF•EB；
（2）解：∵CE²＝EF•EB，
∴

，
∵∠CEF＝∠BEC，
∴△CEF∽△BEC．
∴∠ECF＝∠EBC，∠EFC＝∠ECB．
∵AC＝AB，AC⊥AB，
∴∠∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠EFC＝45°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∵∠DFB＝∠DAB，
∴∠DFB＝45°，
∴∠EFC＝∠DFB＝45°．
∵∠ECF＝∠DBF，
∴△CEF∽△BDF，
∴

．
∵AB＝AC，∠CAB＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝CD＝BD＝

AC．
∵E为AC的中点，
∴CE＝

AC，
∴

，
∴

，
∴EF＝

．
∵E为AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝

AB．
∵∠EAB＝90°，AF⊥BE，
∴△AEF∽△BAF，
∴

，
∴AF＝2EF＝

．

[点评]

本题考查了"相似三角形的判定与性质，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

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284735. （2022•高新一中•七模）北京冬奥会的首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象．现将大跳台抽象成如图的简图，CD表示助滑区，Rt△DEH表示起跳台，EB表示着陆坡．已知∠EBF＝30°，从点D处测得C处的仰角等于∠HDE的度数，CA＝52m，DE＝10m，HE＝5m，AB＝110m，DE∥BF，CA、DG、EM都垂直于BF．求起跳台高度HM的值．（结果保留整数，

≈1.73）

共享时间:2022-06-02 难度:1 相似度:2

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285468. （2025•交大附中•九上期中）如图，在△ABC中，D为BC上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2

共享时间:2025-11-19 难度:1 相似度:2

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284119. （2023•西工大附中•三模） $德优题库$ 小延想要测量学校教学楼AB的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆DE的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆DE的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离MN=FG=1.6米，NG=2米，GE=6米，BE=8米，AC=3米，MN、FG、DE、AB均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼AB的高度．

共享时间:2023-04-04 难度:1 相似度:2

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198777. （2022•铁一中学•九上期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AGE∽△AFB．
（2）若

，GE＝2，求BF的长．

共享时间:2022-11-18 难度:1 相似度:2

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287658. （2019•益新中学•三模）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若CF＝1，

＝

，求⊙O的半径．

共享时间:2019-04-08 难度:1 相似度:2

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173057. （2024•高新四中•九上一月） $德优题库$ 在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF，连接AF，分别交DE、CD于M，N．
（1）求证：MA=MF；
（2）若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．

共享时间:2024-10-11 难度:2 相似度:1.5

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26025. （2024•滨河中学•四模）如图，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，点E是⊙O上一点，

，延长AE与DC的延长线交于点F，AG、BG是⊙O的弦，AG=AE．
（1）求证：AF⊥DF；
（2）若AG=6，BG=8，求线段DF的长．
$德优题库$

共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.5

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6243. （2016•铁一中学•真题））如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC＝∠CBD；
（2）BC²＝AB•BD．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.5

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25735. （2023•滨河中学•八模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
$德优题库$