如图是的直径弦与交于点过点的切线交的延长线于点点是的中点求证若的半径为求

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26032. （2024•交大附中•一模）如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点．
（1）求证：∠AFB=∠C；
（2）若⊙O的半径为4，AB=5，求AF．
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共享时间:2024-04-05 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，切线定理，

[答案]

（1）证明见解答过程；
（2）AF=．

[解析]

（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴EA⊥AD，即∠EAD=90°，
∵点B是DF的中点，
∴AB＝

DF＝BF，
∴∠BAE=∠AFB，
∵

，
∴∠C=∠BAE，
∴∠AFB=∠C；
（2）解：连接AC，则∠ECA=∠ECF+∠ACD=90°，
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由（1）可知，∠EAD=90°，则∠AFB+∠D=90°，
∵∠AFB=∠ECF，∠AFB=∠CFE，
∴∠ACD=∠D，∠CFE=∠ECF
∴AC=AD，EC=EF，
∵AB=5，AB＝

DF＝BF，
∴DF=10，
∴AD=AC=

，
∵⊙O半径的长为4，
∴AE=8，CE=EF=8-AF，
由勾股定理可知：AC²+CE²=AE²，即：（

）²+（（8-AF）²=8²，
解得：AF=

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,直角三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,切线定理"，属于"典型题"，熟悉考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

780. （2019•陕西省•暑假）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.4

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1143. （2020•陕西省•副题）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R=13，BC=24，求AF的长．
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共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:1.35

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.35

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4762. （2017•高新一中•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.2

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6218. （2016•西工大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB＝

，且sin∠CFD＝

，求⊙O的半径与线段AE的长．

共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:1.2

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.07

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919. （2017•陕西省•真题）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.07

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3118. （2019•滨河中学•模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）如果sinC＝

，AE的长为2．求⊙O的半径．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.9

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878. （2013•陕西省•真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:0.9

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4687. （2013•交大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝

，求BF的长．

共享时间:2018-06-25 难度:4 相似度:0.9

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2772. （2020•益新中学•模拟）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB　　∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．