函数对任意的都有并且当时求证在上是增函数若解不等式

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236719. （2016•西北大附中•高二下期末）．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1，
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）若f（2）＝3，解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3．

共享时间:2016-07-10 难度:1

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[考点]

抽象函数的周期性，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）证明：任取x₁＜x₂，
∴x₂﹣x₁＞0．
∴f（x₂﹣x₁）＞1．
∴f（x₂）＝f[x₁+（x₂﹣x₁）]＝f（x₁）+f（x₂﹣x₁）﹣1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（2）＝3．
∴f（3m²﹣m﹣2）＜3＝f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²﹣m﹣2＜2，
3m²﹣m﹣4＜0，
∴﹣1＜m＜

即不等式的解集为

．

[点评]

本题考查了"抽象函数的周期性，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172250. （2022•唐南中学•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（

）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

共享时间:2022-11-10 难度:1 相似度:2

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233606. （2022•西安八十三中•高一上二月）已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）＝f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²﹣1）＜2．

共享时间:2022-12-23 难度:1 相似度:2

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235896. （2020•高新一中•高一上期末）已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上且满足下列两个条件：
①对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）＝f（

）；
②当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0．
（1）求f（0），并证明函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数；
（2）验证函数

是否满足这些条件；
（3）若f（﹣

）＝1，试求函数F（x）＝f（x）+

的零点．

共享时间:2020-02-01 难度:1 相似度:2

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237573. （2019•西安中学•高一上期中）函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）＝f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

共享时间:2019-11-21 难度:1 相似度:2

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237852. （2017•高新一中•高一上期中）若定义在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+2f（

）＝2017﹣x，则f（2019）＝　1344　．

共享时间:2017-11-20 难度:1 相似度:2

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237975. （2015•师大附中•高一上期中）已知函数f（x）对任意x，y∈R有f（x）+f（y）＝2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判断函数f（x）的单调性，并给与证明；
（2）若f（3）＝5，解不等式f（a²﹣2a﹣2）＜3．

共享时间:2015-11-17 难度:1 相似度:2

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171122. （2024•西电附中•高一上期中）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（3）＝1012．
（1）求f（0），f（6）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知当x＞0时，f（x）＞0，解不等式f（2x﹣4）＞2024．

共享时间:2024-11-21 难度:2 相似度:1.5

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236042. （2019•西安中学•高二下期末）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2）＝1．
（1）求f（8）的值；
（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．

共享时间:2019-07-23 难度:2 相似度:1.5

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236718. （2016•西北大附中•高二下期末）．函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，若f（1）＝2016，则f（2015）＝　．

共享时间:2016-07-10 难度:2 相似度:1.5

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238036. （2015•高新一中•高一上期中）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合记为A；当x∈[﹣2，2]时，使g（x）＝f（x）﹣bx是单调函数的b的集合记为B．求A∩∁_RB（R为全集）．

共享时间:2015-11-24 难度:2 相似度:1.5

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172206. （2023•交大附中•高一下期中）定义在R上的连续函数f（x）、g（x）满足对任意x、y∈R，f（x+y）＝f（x）g（y）+f（y）•g（x），g（x+y）＝f（x）f（y）+g（x）g（y），g（2x）＝2[g（x）]²﹣1．
（1）证明：g（x）＞f（x）；
（2）请判断f（x）、g（x）的奇偶性；
（3）若对于任意x∈R，不等式g（2x）≥mg（x）﹣6恒成立，求出m的最大值．

共享时间:2023-05-18 难度:3 相似度:1.33

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238057. （2015•交大附中•高一上期中）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（3）设f（1）＝1，若f（x）＜m²﹣2am+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2015-11-12 难度:3 相似度:1.33

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