已知函数对一切实数都有成立且求的值求的解析式已知当时不等式恒成立的的集合记为当时使是单调函数的的集合记为求为全集

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238036. （2015•高新一中•高一上期中）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合记为A；当x∈[﹣2，2]时，使g（x）＝f（x）﹣bx是单调函数的b的集合记为B．求A∩∁_RB（R为全集）．

共享时间:2015-11-24 难度:2

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[考点]

函数解析式的求解及常用方法，抽象函数的周期性，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）中，
令x＝﹣1，y＝1，可得f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），
又由f（1）＝0，则有f（0）＝﹣2；
（2）在f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）中，
令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x+1）
又由f（0）＝﹣2，则f（x）＝x²+x﹣2；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，等价于x²+x﹣2+3＜2x+a，即x²﹣x+1＜a，
若不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，则有x²﹣x+1＜a恒成立，
又由

，则

＜x²﹣x+1＜1，必有a＞1；
故A＝{a|a≥1}；
g（x）＝x²+x﹣2﹣ax＝x²+（1﹣a）x﹣2，
若g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，必有

≤﹣2或

≥2成立，
解可得a≤﹣3，或a≥5．
故B＝{a|a≤﹣3，或a≥5}，则∁_RB＝{a|﹣3＜a＜5}
故A∩∁_RB＝{a|1≤a＜5}．

[点评]

本题考查了"函数解析式的求解及常用方法，抽象函数的周期性，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

232782. （2023•唐南中学•高一上二月）已知函数f（2x﹣1）＝4x²﹣2x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝（1﹣2m）x+2﹣2m有两个实根，其中一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-18 难度:1 相似度:1.5

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237852. （2017•高新一中•高一上期中）若定义在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+2f（

）＝2017﹣x，则f（2019）＝　1344　．

共享时间:2017-11-20 难度:1 相似度:1.5

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235896. （2020•高新一中•高一上期末）已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上且满足下列两个条件：
①对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）＝f（

）；
②当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0．
（1）求f（0），并证明函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数；
（2）验证函数

是否满足这些条件；
（3）若f（﹣

）＝1，试求函数F（x）＝f（x）+

的零点．

共享时间:2020-02-01 难度:1 相似度:1.5

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233606. （2022•西安八十三中•高一上二月）已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）＝f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²﹣1）＜2．

共享时间:2022-12-23 难度:1 相似度:1.5

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172250. （2022•唐南中学•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（

）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

共享时间:2022-11-10 难度:1 相似度:1.5

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237401. （2020•铁一中学•高一上期中）某质点在30s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，用解析法表示出这个函数，并求出9s时质点的速度．

共享时间:2020-11-30 难度:1 相似度:1.5

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172068. （2022•铁一中学•高一上期中）某质点在30s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，用解析法表示出这个函数，并求出9s时质点的速度．

共享时间:2022-11-18 难度:1 相似度:1.5

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236719. （2016•西北大附中•高二下期末）．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1，
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）若f（2）＝3，解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3．

共享时间:2016-07-10 难度:1 相似度:1.5

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237573. （2019•西安中学•高一上期中）函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）＝f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

共享时间:2019-11-21 难度:1 相似度:1.5

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237975. （2015•师大附中•高一上期中）已知函数f（x）对任意x，y∈R有f（x）+f（y）＝2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判断函数f（x）的单调性，并给与证明；
（2）若f（3）＝5，解不等式f（a²﹣2a﹣2）＜3．

共享时间:2015-11-17 难度:1 相似度:1.5

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170234. （2023•西安三中•高二下期末）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）和g（x），满足f（x）+g（﹣x）＝0，且

，其中a＞1．
（1）若

，求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞1的解集为

，求m﹣a的值．

共享时间:2023-07-07 难度:1 相似度:1.5

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171200. （2024•西安八十九中•高一上期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，及此时长x的值．

共享时间:2024-11-19 难度:1 相似度:1.5

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169990. （2023•西工大附中•高一上期末）已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，

且f（﹣1）＝f（1）．
（1）求f（x）在x∈[﹣1，1]上的解析式；
（2）若x∈（0，1），常数

，解关于x的不等式

．

共享时间:2023-02-20 难度:2 相似度:1

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236414. （2017•西北大附中•高二下期末）已知函数f（x）＝

，
①若f（a）＝14，求a的值
②在平面直角坐标系中，作出函数y＝f（x）的草图．（需标注函数图象与坐标轴交点处所表示的实数）

共享时间:2017-07-04 难度:2 相似度:1

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236220. （2017•西安中学•高二上期末）工厂需要围建一个面积为512m²的矩形堆料场，一过可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
（1）写出y关于x的函数解析式，确定x的取值范围：
（2）随着x的变化，y的变化有何规律？
（3）堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？

共享时间:2017-02-08 难度:2 相似度:1

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2015-11-24

高中数学 | 高一上 | 解答题

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2015-2016学年陕西省西安市高新一中高一（上）期中数学试卷

更新:2015-11-24 08:12浏览量:11

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