定义在上的连续函数满足对任意证明请判断的奇偶性若对于任意不等式恒成立求出的最大值

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172206. （2023•交大附中•高一下期中）定义在R上的连续函数f（x）、g（x）满足对任意x、y∈R，f（x+y）＝f（x）g（y）+f（y）•g（x），g（x+y）＝f（x）f（y）+g（x）g（y），g（2x）＝2[g（x）]²﹣1．
（1）证明：g（x）＞f（x）；
（2）请判断f（x）、g（x）的奇偶性；
（3）若对于任意x∈R，不等式g（2x）≥mg（x）﹣6恒成立，求出m的最大值．

共享时间:2023-05-18 难度:3

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[考点]

函数的奇偶性，抽象函数的周期性，函数恒成立问题，

[答案]

（1）见解析；
（2）g（x）是偶函数，f（x）是奇函数；
（3）2

．

[解析]

解：（1）证明：令x＝y，则有f（2x）＝2f（x）g（x），g（2x）＝f²（x）+g²（x）≥0，g（2x）≥0，
因为x 是任意的，∴g（x）≥0，由g（2x）＝2g²（x）﹣1，得2g²（x）﹣1＝f²（x）+g²（x），g²（x）＝f²（x）+1，
∵g（x）≥0，∴g（x）＝

＞

＝|f（x）|，∴g（x）＞f（x）；
（2）令x＝y＝0，由①②得f（0）＝2f（0）g（0），将x＝0 代入g（2x）＝2g²（x）﹣1，
解得g（0）＝1 或g（0）＝﹣

（∵g（x）≥0，舍去），代入f（0）＝2f（0）g（0），得f（0）＝0；
令y＝﹣x，则有

，
两式相加得[f（x）+g（x）][f（﹣x）+g（﹣x）]＝1，
由（1）的运算结果g²（x）＝f²（x）+1，1＝f²（x）﹣g²（x）代入上式，
得：[f（x）+g（x）][f（﹣x）+g（﹣x）﹣g（x）+f（x）]＝0，
由g²（x）＝f²（x）+1可知，如果f（x）＝﹣g（x），则有0＝1，不可能，
所以f（x）+g（x）≠0，∴f（﹣x）+g（﹣x）﹣g（x）+f（x）＝0，即g（x）﹣f（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
由于x是任意的，必有g（x）+f（x）＝g（﹣x）﹣f（﹣x），
两式相加得2g（x）＝2g（﹣x），g（x）＝g（﹣x），
∴g（x）是偶函数；
f（x）＝﹣f（﹣x），
∴f（x）是奇函数；
（3）由于g（2x）＝2g²（x）﹣1，不等式g（2x）≥mg（x）﹣6，即为：2g²（x）﹣1≥mg（x）﹣6，2g²（x）﹣mg（x）+5≥0，
由g²（x）＝f²（x）+1，g（x）≥0，得g（x）＝

≥1，
令t＝g（x），则不等式转化为2t²﹣mt+5≥0，其中t≥1，
m≤2t+

，∴2t+

≥2

，当且仅当2t＝

，即t＝

时等号成立，所以m的最大值为2

．
综上，m的最大值为2

．

[点评]

本题考查了"函数的奇偶性，抽象函数的周期性，函数恒成立问题，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170237. （2023•西安三中•高二下期末）已知函数f（x）＝3^x+（k﹣2）•3^﹣x（x∈R）为奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若对∀x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）+m•3^x≤6恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数g（x）＝λf（x）﹣（3^x+3^﹣x）²﹣5在[1，+∞）上有零点，求实数λ的取值范围．

共享时间:2023-07-07 难度:2 相似度:1.67

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170215. （2023•高新一中•高一上期末）设f（x）＝

（m＞0，n＞0）是奇函数．
（1）求m与n的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式f（2a+cos²x）+f（4sinx﹣

﹣7）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-02-12 难度:2 相似度:1.67

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171122. （2024•西电附中•高一上期中）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（3）＝1012．
（1）求f（0），f（6）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知当x＞0时，f（x）＞0，解不等式f（2x﹣4）＞2024．

共享时间:2024-11-21 难度:2 相似度:1.67

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167585. （2023•新城一中•高一上二月）已知函数

是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若x＞0时，关于x的不等式f（2x）≤mf（x）恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-12-13 难度:2 相似度:1.67

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169657. （2024•交大附中•高一上期末）已知函数

且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若对于任意的

恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:1.67

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169507. （2024•铁一中学•高一上期末）已知函数f（x）＝a﹣

为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）（i）证明：f（x）为单调递增函数；
（ii）∀x∈（0，+∞），若不等式

＞0恒成立，求非零实数m的取值范围．

共享时间:2024-02-13 难度:2 相似度:1.67

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171547. （2023•高新一中•高一上期中）已知函数

为奇函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．
（2）若不等式f（at²+2t﹣2）+f（1﹣t）≥0对一切t∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-13 难度:2 相似度:1.67

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170444. （2022•长安区一中•高二上期末）函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，g（x）＝1﹣e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:1.67

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170972. （2024•曲江二中•高一上期中）已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（x）≤m²﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:1.34

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172250. （2022•唐南中学•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（

）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

共享时间:2022-11-10 难度:1 相似度:1.33

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171374. （2023•西安中学•高三上期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，a，b∈R且a+b＞0．
（1）若函数f（x）的最小值为1，试证明点（a，b）在定直线上；
（2）若b＝1，x∈[0，1]时，不等式f（x）≤x+5恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-22 难度:1 相似度:1.33

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169720. （2023•师大附中•高一下期末）已知函数f（x）＝a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）证明：f（2x₁）+f（2x₂）≥2f（x₁+x₂）；
（2）若f（x₁）＝2，f（x₂）＝3，f（x₁x₂）＝8，求a的值；
（3）∀x∈R，

恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.33

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169613. （2024•滨河中学•高一下期末）已知函数y＝f（x）的定义域为R，实数a和b满足a＜b，若y＝f（x）在区间（a，b]上不存在最小值，则称y＝f（x）在（a，b]上具有性质P．
（1）若f（x）＝x²﹣2x，判断函数y＝f（x）在下列区间上是否具有性质P；①（0，2]；②（1，3]；
（2）若f（x+1）＝mf（x）+1对任意实数x都成立，当0＜x≤1时，f（x）＝x，若y＝f（x）在区间（0，2]上具有性质P，求实数m的取值范围；
（3）对于满足a＜b的任意实数a和b，y＝f（x）在区间（a，b]上都有性质P，且对于任意k∈Z，当x∈（k，k+1）时，均满足