已知函数的定义域为且对任意的正实数都有且当时求证求解不等式

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172250. （2022•唐南中学•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（

）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

共享时间:2022-11-10 难度:1

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[考点]

抽象函数的周期性，

[答案]

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[解析]

解：（1）证明：令x＝4，y＝1，则f（4）＝f（4×1）＝f（4）+f（1）．
∴f（1）＝0．
（2）f（16）＝f（4×4）＝f（4）+f（4）＝2，f（1）＝f（

×16）＝f（

）+f（16）＝0，
故f（

）＝﹣2．
（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（

）＞0，
∴f（x₁）＝f（

×x₂）＝f（

）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x﹣3）＝f[x（x﹣3）]≤1＝f（4），
∴

⇒3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/14 17:38:56；用户：恩煊数学；邮箱：enxuan010@xyh.co

[点评]

本题考查了"抽象函数的周期性，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171122. （2024•西电附中•高一上期中）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（3）＝1012．
（1）求f（0），f（6）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知当x＞0时，f（x）＞0，解不等式f（2x﹣4）＞2024．

共享时间:2024-11-21 难度:2 相似度:1.5

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172206. （2023•交大附中•高一下期中）定义在R上的连续函数f（x）、g（x）满足对任意x、y∈R，f（x+y）＝f（x）g（y）+f（y）•g（x），g（x+y）＝f（x）f（y）+g（x）g（y），g（2x）＝2[g（x）]²﹣1．
（1）证明：g（x）＞f（x）；
（2）请判断f（x）、g（x）的奇偶性；
（3）若对于任意x∈R，不等式g（2x）≥mg（x）﹣6恒成立，求出m的最大值．

共享时间:2023-05-18 难度:3 相似度:1.33

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171572. （2023•滨河中学•高一上期中）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（3）＝0；
②∀x，y＞0，f（xy）＝f（x）+f（y）+2；
③当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．
（1）求

；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若实数a＞0，

在

上恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:4 相似度:1.25

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2022-11-10

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2022-2023学年陕西省西安高新唐南中学高一（上）期中数学试卷

更新:2022-11-10 06:15浏览量:6

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