如图已知是等腰直角三角形动点在斜边所在的直线上以为直角边作等腰直角其中探究并解决下列问题如图若点在线段上时猜想三者之间的数量关系如图若点在的延长线上在中所猜想的三者之间的数量关系仍然成立请利用图进行证明若动点满足求的值请利用图进行探求

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23065. （2021•铁一中学•八上期中）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足

＝

，求

的值（请利用图3进行探求）．

共享时间:2021-11-19 难度:4

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相似

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[考点]

等腰直角三角形，三角形综合题，勾股定理，勾股定理的逆定理，

[校正]

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）结论：PA²+PB²＝PQ²．
理由：如图1，过点C作CD⊥AB于点D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，
∵PA²＝（AD+PD）²＝（CD+PD）²＝CD²+2CD•PD+PD²，
PB²＝（BD﹣PD）²＝（CD﹣PD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²＝2CD²+2PD²＝2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²＝CD²+PD²，
∴PA²+PB²＝2PC²，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴2PC²＝PQ²，
∴PA²+PB²＝PQ²，
故答案为：PA²+PB²＝PQ²；

（2）结论不变．
理由：如图2，过C作CD⊥AB于点D，

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，
∵PA²＝（AD+PD）²＝（CD+PD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，PB²＝（DP﹣BD）²＝（PD﹣CD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²＝2CD²+2PD²＝2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²＝CD²+PD²，
∴PA²+PB²＝2PC²，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴2PC²＝PQ²，
∴PA²+PB²＝PQ²；

（3）过点C作CD⊥AB于点D，
∵

＝

，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，

∵

＝

，
∴PA＝

AB＝

CD，PD＝

CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP＝

＝

CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝

CD，
∴

＝

；
②如图4，当点P在线段BA的延长线上时，

∵

＝

，
∴PA＝2AB＝4CD，PD＝

CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP＝

＝

CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝

CD，
∴

＝

；
综上可知

的值为

或

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形,三角形综合题,勾股定理,勾股定理的逆定理"，属于"难典题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

197520. （2024•曲江一中•八上期中）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，

，BC＝1，

，则四边形ABCD的面积为　　．

共享时间:2024-11-20 难度:2 相似度:1.5

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274160. （2024•铁一中学•二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

	甲	乙
进价（元/件）	15	35
售价（元/件）	20	45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．

共享时间:2024-03-26 难度:1 相似度:1.25

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287408. （2020•铁一中学•六模）如图，已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，使得BC＝

BD．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2020-05-25 难度:1 相似度:1.25

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212424. （2025•交大附中•四模）问题探究
（1）如图①，等边△ABC的边长为6，M，N分别是边AC，BC上的点，且满足AM=2，∠CMN=75°，求BN的长；
问题解决
（2）如图②，道路长为120米的BC一侧是一片足够大的学校实践基地，现计划在这片基地上规划一个四边形花园ABCD，按设计要求：点A，B，C，D为出入口，点P为休息厅，现准备过点P规划两条小路AC与BD，且满足∠BPC=120°，AD∥BC，AD=60米，为了满足设计的需要，要使两条小路长度之和最大，请问是否存在符合要求的两条小路？若存在，求出两条小路长度之和（即AC+BD）的最大值，若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-04-27 难度:1 相似度:1.25

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274768. （2024•西工大附中•四模）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC和BD是两条对角线，∠ABD＝30°，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E．求

的值．
（2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形ABCD是项目开发的雏形图，其中A，B，D是三条步行街的入口．AC，BC，DC分别是通向水上乐园C的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量BD的长约

千米，∠ABD＝30°，∠ADB＝45°．同时根据设计要求还要满足∠BCD＝75°．由于招商类型与环境设计的不同，预计AC段每月平均每千米的租金收入是10万元，BC段每月平均每千米的租金收入是

万元，CD段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点C，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.25

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211723. （2025•碑林区•八模）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，点D在边AB上，过点D作直线l⊥BC，点B与点E关于直线l对称，作CE的垂直平分线m交AC于点F，连接DF．若BD=4，则△ADF的面积为．
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，∠A=45°，小明想在△ABC内找一点D，使得点D到A，B，C三点的距离相等，小明进行了2次折叠操作．
第1次：沿着直线m翻折，使得点B与点C重合，展开后，标记折痕m与BC交于点E；
第2次：沿着过点E的直线n翻折，使得点C落在直线m上，点C的对应点为点D．点D到点A，B，C的距离相等吗？请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-06-11 难度:1 相似度:1.25

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197518. （2024•曲江一中•八上期中） $德优题库$ 如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是y轴上的动点，则△APC周长的最小值= ．

共享时间:2024-11-20 难度:1 相似度:1.25

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185251. （2024•交大附中•八上期中）【思维启迪】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD到点E．使DE＝AD，连接BE，则AC与BE的数量关系为　　，位置关系为　　．
【思维应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接AD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接BE，若AD⊥BE，请用等式表示AB，AD，BE之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在射线DB上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为点F，连接FD．若

，BF＝2，请直接写出FD的长．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.25

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287378. （2020•铁一中学•七模） $德优题库$ 如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点E在AB上．AE=3．在边AC上求作一点D．使得△DAE的周长为11．（要求；尺规作图，不写作法，保留痕迹）

共享时间:2020-06-06 难度:1 相似度:1.25

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288175. （2018•铁一中学•一模）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，CE＝4

，求AD的长．

共享时间:2018-03-05 难度:3 相似度:1.17

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23398. （2020•铁一中学•八上二月）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC于F．
（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
$德优题库$

共享时间:2021-12-15 难度:4 相似度:1.17

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23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.17

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23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
$德优题库$

共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1

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6245. （2017•铁一中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:5 相似度:0.9

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23012. （2021•高新一中•八上期中）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
$德优题库$
（1）当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
①如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，则点A'的坐标为；
②如图②，当A'在y轴上时，求P点坐标；
（2）如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B'，求AP解析式．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:0.83

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tyz510

2021-11-19

初中数学 | 八年级上 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市铁一中学八上数学期中试卷

更新:2021-11-19 01:05浏览量:1213

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