在棱为的正方体中点在线段上运动点在正方体表面上为与的交点则四面体的体积为定值存在点使当时点的轨迹长度为四面体外接球的表面积为

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首页 > 试题列表 > 单题解析

230564. （2025•西工大附中•八模）在棱为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E在线段BD上运动，点F在正方体表面上，O为AC与BD的交点，则（　　）

A.四面体E﹣AB₁D₁的体积为定值

B.存在点E，使A₁E⊥C₁O

C.当FA＝FB时，点F的轨迹长度为4

D.四面体A₁﹣ABO外接球的表面积为π

共享时间:2025-06-12 难度:1

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[考点]

棱柱的结构特征，

[答案]

AC

[解析]

解：对于选项A，易知BD∥B₁D₁，又B₁D₁⊂面AB₁D₁，BD⊄面AB₁D₁，
所以BD∥面AB₁D₁，又E在BD上，所以E到面AB₁D₁的距离为定值，
又△AB₁D₁的面积为定值，所以四面体E﹣AB₁D₁的体积为定值，故选项A正确；
对于选项B，如图，建立空间直角坐标系：

则

，
设E（t，t，0）（0≤t≤1），
所以

，
所以

，
所以A₁E⊥C₁O不成立，故选项B错误；
对于选项C，当FA＝FB时，则点P在过AB中点且与AB垂直的平面上，又点F在正方体表面上，
所以点F的轨迹为正方形MNKQ，如图所示，故点F的轨迹长度为4，所以选项C正确；
对于选项D，因为△AOB是直角三角形，所以△AOB外接圆圆心为M，
则四面体A₁﹣ABO外接球的球心在线段QM中点处，所以R＝

＝

，
所以所求球的表面积为4πR²＝2π，故选项D错误．
故选：AC．

[点评]

本题考查了"棱柱的结构特征，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

236835. （2015•西安一中•高一上期末）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF＝

，给出下列结论：
（1）AC⊥BE；
（2）EF∥平面ABCD；
（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值；
（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．
其中错误的结论有（　　）

A.0个

B.1 个

C.2个

D.3个

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171582. （2023•西安三中•高三上期中）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA₁D₁D内一点，若EF∥平面BB₁D₁D，则EF长度的范围为（　　）

A.[

]

B.[

]

C.．[

]

D.．[

]

共享时间:2023-11-26 难度:1 相似度:2

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236833. （2015•西安一中•高一上期末）下列说法正确的是（　　）

A.底面是正多边形，侧面都是正三角形的棱锥是正棱锥

B.各个侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

C.．对角面是全等的矩形的直棱柱是长方体

D.．两底面为相似多边形，且其余各面均为梯形的多面体必为棱台

共享时间:2015-02-22 难度:1 相似度:2

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233485. （2023•铁一中学•高二下二月）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论中错误的是（　　）

A.AC⊥BE

B.．EF∥平面ABCD

C.．三棱锥A﹣BEF的体积为定值

D.．异面直线AE，BF所成的角为定值

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172215. （2023•西安工业大学附中•高一下期中）下列说法中不正确的是（　　）

A.．棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有几何体的表面都能展开成平面图形

D.．棱柱的各条棱都相等

共享时间:2023-05-16 难度:1 相似度:2

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172211. （2023•西安工业大学附中•高一下期中）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是（　　）

A.4S

B.．4πS

C.．πS

D.2πS

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172208. （2023•西安工业大学附中•高一下期中）已知z₁＝5+3i，z₂＝5+4i，下列各式中正确的是（　　）

A.z₁＞z₂

B.．z₁＜z₂

C.|z₁|＞|z₂|

D.．|z₁|＜|z₂|

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171601. （2024•交大附中•高一下期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（　　）

A.三角形

B.正方形

C.．菱形

D.正六边形

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171599. （2024•交大附中•高一下期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（　　）

A.

B.．

C.．

D.．

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170139. （2023•铁一中学•高二下期末）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点，点P，Q分别为面A₁B₁C₁D₁和线段B₁C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　）

A.．2

B.．

C.．

D.．

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168815. （2021•西工大附中•十二模）已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BB₁，CC₁上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（　　）

A.AB⊥PQ

B.AD₁与PQ不会相交

C.四面体ABPQ的体积为定值

D.AP∥平面CDD₁C₁

共享时间:2021-07-26 难度:1 相似度:2

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170882. （2024•师大附中•高二上期中）如图，平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，其中AB＝2，AD＝4，AA₁＝3，且∠A₁AD＝∠A₁AB＝60°，则线段AC₁的长为（　　）

A.．9

B.．

C.．

D.．

共享时间:2024-11-18 难度:2 相似度:1.5

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167685. （2024•西安中学•五模）已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，过底边BC的平面与上底面交于线段MN，若截面BCMN将三棱柱分成了体积相等的两部分，则

＝（　　）

A.

B.

C.

D.．

共享时间:2024-05-09 难度:2 相似度:1.5

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172191. （2023•交大附中•高一下期中）在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝4，E为棱BC的四等分点（靠近点B），F为棱A'D'的四等分点（靠近点A'），过点C'，E，F作该正方体的截面，则该截面的周长是（　　）

A.．

B.．

C.

D.

共享时间:2023-05-18 难度:2 相似度:1.5

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171996. （2023•西工大附中•高一下期中）在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点O，则（　　）

A.AD₁∥平面BOC₁

B.三棱锥C﹣BOC₁的体积为

C.三角形C₁OB是锐角三角形

D.三棱锥C₁﹣ABC的四个面都是直角三角形

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