如图内接于是的直径是弧的中点过点作的切线分别交的延长线于点求证若求的长

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210992. （2025•高新一中•四模） $德优题库$ 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，C是弧AD的中点，过点D作⊙O的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F．
（1）求证：∠ACB=∠E；
（2）若AB=8，BE=2，求BC的长．

共享时间:2025-04-24 难度:3

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[考点]

垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，

[答案]

（1）证明见解答；

（2）BC的长是6

．

[解析]

（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵过点D作⊙O的切线分别交AB，AC的延长于点E，F，
∴EF⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADB＝∠E＝90°﹣∠EAD，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACB＝∠E．
（2）解：连接OC，则OC＝OA，
∵∠ABD＝∠DBE＝90°，∠ADB＝∠E，AB＝8，BE＝2，
∴

＝tan∠ADB＝tanE＝

，AE＝AB+BE＝8+2＝10，
∴DB＝

＝

＝4，
∴AD＝

＝

＝4

，ED＝

＝

＝2

，
∴OC＝OA＝

AD＝2

，
∵C是

的中点，
∴

＝

，
∴∠AOC＝∠DOC＝

×180°＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝

＝

OA＝

×2

＝2

，
∵∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠F＝45°，
∴FD＝AD＝4

，
∴FE＝FD+ED＝4

＝6

，
∵∠ACB＝∠E，∠BAC＝∠FAE，
∴△ABC∽△AFE，
∴

＝

，
∴BC＝

＝

＝6

，
∴BC的长是6

．

[点评]

本题考查了"垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21438. （2020•铁一中学•八模）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝

，CF＝5，求BE的长．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.34

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20478. （2020•铁一中学•八模） $德优题库$ 如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P=

，CF=5，求BE的长．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.34

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25998. （2024•西工大附中•四模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=34°，请利用尺规作图法，在弧AC上求作点D使得∠AOD=56°．（保留作图痕迹，不写作法）
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共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:1.17

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21714. （2021•交大附中•七模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作半圆O，与BC交于点E，过点E作半圆O的切线交AC于点D．
（1）求证：∠C＝∠DEC；
（2）若∠C＝30°，CE＝8

，求BE的长．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.17

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.17

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21201. （2019•爱知中学•一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB于点G，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：PC=PF．
（2）若CF=12，PG=13，且tan∠PCF=

，求⊙O的半径．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.17

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25809. （2024•西北大附中•一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作⊙O的切线DE，过点B作DE的垂线BC，交DE于点E，交AD的延长线于点C，延长CB，交⊙O于点F．
（1）求证：∠A=∠C；
（2）若BE=BF=6，求DE的长．
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共享时间:2024-03-13 难度:4 相似度:1.17

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25683. （2023•陕西省•真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD=BC；
（2）若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.07

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23817. （2021•益新中学•五模）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点D是弧BC的中点，连接AC、BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=5，BD=3，求线段AE的长．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.07

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1092. （2020•陕西省•真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:1.07

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:1.07

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25626. （2023•爱知中学•二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），点D在⊙O上，且满足AC=AD，直线BP切⊙O于点B，连接DC并延长交BP于E点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：BE=BD．
（2）若OC=3，AO=5，求DF的长．
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