问题探索如图在矩形中点分别在边上连接且于点若则问题解决如图小明家原有一块四边形菜地其中米米米后经土地资源再分配调整为五边形经测量米现需过点修建一条小路将五边形分割成两个区域进行不同的蔬菜种植设计时满足点在边上与所夹锐角为求需修小路的长小路宽度忽略

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210942. （2025•高新一中•一模）问题探索：
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，且CE⊥DF于点G，若

，则

＝　　；
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中AB∥CD，DA⊥AB，AD＝20米，CD＝10米，

米，后经土地资源再分配调整为五边形AEFCD，经测量BE＝10米，FE⊥BE，现需过点F修建一条小路将五边形AEFCD分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点P在边AD上，FP与CB所夹锐角为45°，求需修小路PF的长（小路宽度忽略不计）．

共享时间:2025-03-14 难度:4

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[考点]

全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，

[答案]

（1）2；

（2）

米．

[解析]

解：（1）在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，且CE⊥DF于点G，
∴∠DCF＝∠B＝90°，
∵AD＝BC，
AB＝CD，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥DF，

，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，

，
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CDF∽△BCE，
∴

，
故答案为：2；
（2）过B作BS∥PF交AD于S，过C作CH⊥BS交AB于H，交BS于Q，过Q作MN⊥AB交CD于M，交AB于N，过C作CK⊥AB交AB于K，

∴∠QMC＝∠BNQ＝∠BQC＝90°，
CQ⊥PF，
MN＝CK＝AD＝20，
AK＝CD＝10，
FT＝AE，
∴∠CQM+∠QCM＝90°，
∠CQM+∠BQN＝90°，

＝

＝10，
∴∠QCM＝∠BQN，
FT＝AE
＝AK+BK+BE
＝30，
∵FP与CB所夹锐角为45°，
∴∠QBC＝∠PGC＝45°，
∴QB＝CQ，
∵QB²+CQ²＝BC²，
∴QB＝CQ
＝

，
在△QCM和△BQN中，

，
∴△QCM≌△BQN（AAS），
∴CM＝QN，
∴QM＝MN﹣QN
＝MN﹣CM，
＝20﹣CM，
由题意可得：（20﹣CM）²+CM²＝CQ²，
∴CM＝5，
∴QM＝15，
∵△QMC∽△FTP，
∴

，
∴

；
故需修小路PF的长

米．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.25

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.17

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:1.08

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-11 难度:5 相似度:1

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1

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508. （2018•陕西省•副题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，且

＝

，过点D作CB的垂线，与CB的延长线相交于点E，并与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R＝5，AC＝8，求DF的长．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1

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2897. （2019•益新中学•模拟）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:0.9

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.9

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994. （2018•陕西省•真题）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB=CD，求证：AG=DH．

共享时间:2018-07-02 难度:3 相似度:0.75

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350. （2012•红星高中•真题）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求

的值．

共享时间:2020-07-03 难度:4 相似度:0.75

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1089. （2020•陕西省•真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:0.75

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zy@dyw.com

2025-03-14

初中数学 | | 解答题

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更新:2025-03-14 08:42浏览量:42

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