问题探索如图在矩形中点分别在边上连接且于点若则问题解决如图小明家原有一块四边形菜地其中米米米后经土地资源再分配调整为五边形经测量米现需过点修建一条小路将五边形分割成两个区域进行不同的蔬菜种植设计时满足点在边上与所夹锐角为求需修小路的长小路宽度忽略

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210942. （2025•高新一中•一模）问题探索：
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，且CE⊥DF于点G，若

，则

＝　　；
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中AB∥CD，DA⊥AB，AD＝20米，CD＝10米，

米，后经土地资源再分配调整为五边形AEFCD，经测量BE＝10米，FE⊥BE，现需过点F修建一条小路将五边形AEFCD分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点P在边AD上，FP与CB所夹锐角为45°，求需修小路PF的长（小路宽度忽略不计）．

共享时间:2025-03-14 难度:4

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相似

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[考点]

全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，

[答案]

（1）2；

（2）

米．

[解析]

解：（1）在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，且CE⊥DF于点G，
∴∠DCF＝∠B＝90°，
∵AD＝BC，
AB＝CD，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥DF，

，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，

，
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CDF∽△BCE，
∴

，
故答案为：2；
（2）过B作BS∥PF交AD于S，过C作CH⊥BS交AB于H，交BS于Q，过Q作MN⊥AB交CD于M，交AB于N，过C作CK⊥AB交AB于K，

∴∠QMC＝∠BNQ＝∠BQC＝90°，
CQ⊥PF，
MN＝CK＝AD＝20，
AK＝CD＝10，
FT＝AE，
∴∠CQM+∠QCM＝90°，
∠CQM+∠BQN＝90°，

＝

＝10，
∴∠QCM＝∠BQN，
FT＝AE
＝AK+BK+BE
＝30，
∵FP与CB所夹锐角为45°，
∴∠QBC＝∠PGC＝45°，
∴QB＝CQ，
∵QB²+CQ²＝BC²，
∴QB＝CQ
＝

，
在△QCM和△BQN中，

，
∴△QCM≌△BQN（AAS），
∴CM＝QN，
∴QM＝MN﹣QN
＝MN﹣CM，
＝20﹣CM，
由题意可得：（20﹣CM）²+CM²＝CQ²，
∴CM＝5，
∴QM＝15，
∵△QMC∽△FTP，
∴

，
∴

；
故需修小路PF的长

米．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2025-03-18 难度:2 相似度:1.5

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求证：DF=AB．

共享时间:2025-04-11 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2025-04-08 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2024-10-15 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2025-04-24 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2024-10-27 难度:4 相似度:1.5

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