问题背景如图内接于过作的切线在上任取一个不同于点的点连接比较与的大小并说明理由问题解决如图在轴正半轴上是否存在一点使得最小若存在求出点坐标若不存在请说明理由拓展应用如图在四边形中于是上一点是右侧四边形内一点若求

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20863. （2020•高新一中•一模）问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S_△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．

共享时间:2020-06-18 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形，特殊角的三角函数值，圆的综合题，最大张角，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：符合条件的点P应该是以AB为弦所在圆恰好与过N点且与AN垂直的直线相切时的切点．
（1）问题背景：
如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，

则∠CA′B＞∠P，
而∠CA′B＝∠CAB，
∴∠BPC＜∠BAC；

（2）问题解决：
如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，

∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，
∴∠APB最大，即cos∠APB最小，
由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为

（2+4）＝3，
设点P（x，0），则点C（x，3），
∵点P、B都是圆上的点，
∴CB＝CP，
∴x²+（4﹣3）²＝3²，解得：x＝±2

（舍去负值），
故点P的坐标为：（2

，0）；

（3）拓展应用：
过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN＝

AM，
过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F交直线l于点P′，

在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，则CH＝11﹣8＝3，
∵tanC＝

＝

＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，
在等腰直角三角形ADE中，S_△ADE＝

×AD×AE＝18，
∵MN＝

AM，
∴S_△DEN＝

S_△ADE＝9，
∵直线l∥DE，
∴S_△P′ED＝S_△DEN＝9＝S_△DEP，
∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，
∵FG⊥l，而直线l∥DE，
∴GF⊥DE，
而∠AEB＝45°，
故△EFQ为等腰直角三角形，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，
∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2＝2，则FQ＝

EF＝

，
∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝

AM+

＝

＜BF，
∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
故sin∠APB的最大值为1．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形,特殊角的三角函数值,圆的综合题,最大张角",属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6117. （2017•西工大附中•模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝

，点D、E分别在边AC、BC上，且CD•CB＝CA•CE．
（1）求证：DE∥AB．
（2）若CD＝

，BE＝5，求证：AB与△CDE的外接圆相切．
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共享时间:2017-07-21 难度:4 相似度:1

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.9

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
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问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5 相似度:0.83

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1140. （2020•陕西省•副题）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF=MN，他们测得BD=4.5米，EM=1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？
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共享时间:2020-07-31 难度:3 相似度:0.75

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:0.72

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4529. （2016•交大附中•真题）计算：（3﹣π）⁰+4sin45°﹣

+|1﹣

|．

共享时间:2018-06-06 难度:3 相似度:0.58

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6159. （2017•师大附中•模拟）计算：|

﹣

共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:0.58

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6164. （2017•师大附中•模拟）某海域有A，B两个岛屿，B岛屿在A岛屿北偏西30°方向上，距A岛120海里，有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛屿南偏东75°方向的C处，求出该船与B岛之间的距离CB的长（结果保留根号）．
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共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:0.58

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6235. （2017•铁一中学•模拟）计算：﹣

sin60°．

共享时间:2017-07-03 难度:2 相似度:0.58

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6315. （2017•西工大附中•模拟）如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD，已知CD＝3米，小宏在A点测得D点的仰角为31°，再向教学楼前进15米到达B点，测得C点的仰角为45°，若小宏的身高AM＝BN＝1.7米，不考虑其它因素，求教学楼DF的高度．（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin31°≈0.5150，cos31°≈0.8572，tan31°≈0.6009）．