如图直三棱柱中为棱的中点为棱上的点证明当与平面所成的角为时求三棱锥的体积

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168366. （2022•长安区一中•三模）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝2BC＝

＝4，E为棱BB₁的中点，F为棱AB上的点．
（1）证明：CE⊥C₁F；
（2）当C₁F与平面ABC所成的角为

时，求三棱锥A﹣CEF的体积．

共享时间:2022-04-05 难度:2

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）

．

[解析]

证明：（1）连接BC₁，由题可知：平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
平面ABC∩平面BB₁C₁C＝BC，AB⊂平面ABC，且AB⊥BC，
所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又因为EC⊂平面BB₁C₁C，所以AB⊥EC，
在Rt△EBC中，

，
在Rt△BCC₁中，

，
所以C₁B⊥EC，
因为AB⊥EC，C₁B⊥EC，C₁B∩AB＝B，C₁B，AB⊂平面FBC₁，
所以CE⊥平面FBC₁，
又因为C₁F⊂平面FBC₁，所以CE⊥C₁F；
（2）解：连接FC，因为CC₁⊥平面ABC，
所以直线C₁F与平面ABC所成角为

，
在Rt△C₁CF中，

，
所以

，
在Rt△BCF中，

，
所以FB＝2，即F为AB中点，
所以

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172047. （2023•铁一中学•高一下期中）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC＝AA₁＝1，

，

，P为线段BC₁上的动点．
（1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；
（2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.5

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172006. （2023•西工大附中•高一下期中）如图，正三棱锥V﹣ABC是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝

，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥V﹣ABC表面爬行到点N，求：

（1）该三棱锥V﹣ABC的体积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长．

共享时间:2023-05-10 难度:1 相似度:1.5

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171616. （2024•交大附中•高一下期中）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，

，侧棱长为3，侧面积为

．
（1）求三棱锥B﹣A₁B₁C的体积；
（2）若点D、E分别在三棱柱的棱CC₁，BB₁上，且CD＞BE，线段A₁E，A₁D，DE的延长线与平面ABC交于F、G、H三点，证明：F、G、H共线．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.5

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167370. （2024•长安区•高二下一月）将一条长为6的铁丝截成9段，拼成一个正三棱柱，求该三棱柱体积的最大值．

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.5

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168526. （2021•西安中学•六模）如图三棱锥A﹣BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
（1）求证：EH∥AB；
（2）若四边形EFGH是边长为1的正方形，且点E是AD的中点，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2，AC＝2

，求三棱锥A﹣BCD的体积．

共享时间:2021-05-18 难度:1 相似度:1.5

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167854. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点且

．
（Ⅰ）求证：△PBC为直角三角形；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得三棱锥P﹣AMD的体积为

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.5

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170123. （2023•铁一中学•高三上期末）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝

，A₁C与底面ABCD所成的角为45°．
（1）求四棱锥A₁﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A₁B与B₁D₁所成角的大小．

共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:1

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169394. （2024•西安中学•高三上期末）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:1

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169696. （2024•西安八十五中•高一下期末）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1

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169811. （2023•西安中学•高一下期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1

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169945. （2023•长安区一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥DC，BC⊥AB，CD＝SD，平面SCD⊥平面SBC．
（1）求证：BC⊥平面SCD；
（2）设BC＝CD＝8，SB＝16，求三棱锥S﹣BCD的体积．

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1

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170078. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DC和D₁C₁的中点．
（1）求证：A₁F∥平面AD₁E；
（2）求三棱锥A₁﹣AED₁的体积．

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:1

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170552. （2021•西安中学•高一上期末）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

共享时间:2021-02-10 难度:2 相似度:1

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170188. （2023•高新一中•高一下期末）在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱

，顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：平面BCCB′⊥平面AOA′；
（2）求几何体A′﹣BCC′B′的体积．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1

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170325. （2022•长安区一中•高一下期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面PCD，底面ABCD满足AD∥BC，AP＝AB＝BC＝

AD＝4，∠ABC＝90°，E为AD的中点，AC与BE的交点为O．
（1）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥H﹣PCD的体积是定值；
（2）（文科生做）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
（理科生做）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值．

共享时间:2022-07-24 难度:2 相似度:1

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2022-04-05

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2022年陕西省西安市长安一中高考数学三模试卷（文科）

更新:2022-04-05 09:08浏览量:5

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