如图在四边形中与相交于点填空与的位置关系为与的数量关系为过点作交的延长线于点且求证是等边三角形若点分别是线段线段上的动点当的值最小时请确定点的位置并求出与之间的数量关系

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192582. （2024•碑林区•八下一月） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E，∠ABD=∠ADB．
（1）填空：AC与BD的位置关系为，BE与DE的数量关系为；
（2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，且AB=AF．
①求证：△BCD是等边三角形；
②若点G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH+AH的值最小时，请确定点H的位置，并求出GH与CH之间的数量关系．

共享时间:2024-04-24 难度:5

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[考点]

垂线段最短，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，

[答案]

（1）AC⊥BD；BE＝DE；

（2）①证明见解析；②点H的位置见解析，CH＝2GH．

[解析]

（1）解：AC与BD的位置关系为：AC⊥BD；BE与DE的数量关系为：BE＝DE．
理由：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，BE＝DE，
故答案为：AC⊥BD；BE＝DE；
（2）①证明：如图，设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝α+α＝2α，
由（1）知，AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠DCE＝∠F＝α，
∴∠BCE＝∠DCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
解得：α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形；
②解：如图，延长AD至点A′，使DA′＝DA，
∵CD⊥AD，
∴点A与点A′关于直线CD轴对称，过点A′作A′G⊥AC于点G，交CD于点H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH的值最小，
由①知，∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC，即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴当GH+AH的值最小时，点H的位置如图所示，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．

[点评]

本题考查了"垂线段最短，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21105. （2021•交大附中•九模）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：OE=OF．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.33

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174202. （2024•铁一中学•八上一月）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AD为∠BAC的平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则AE＝　．

共享时间:2024-10-17 难度:2 相似度:1.33

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192144. （2024•高新一中•八下一月） $德优题库$ 已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，求证：BD=2CD．

共享时间:2024-04-21 难度:2 相似度:1.33

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61335. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE．

共享时间:2023-03-02 难度:1 相似度:1.17

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185029. （2024•雁塔二中•八下一月） $德优题库$ 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，请你利用尺规在BC边上找一点P，使得BP=2PC．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.17

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185104. （2025•铁一中学•七下期中） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AD=4，CE=2，求△ABC的面积．

共享时间:2025-05-15 难度:1 相似度:1.17

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185126. （2025•铁一中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.17

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185147. （2025•滨河中学•九下期中）已知：如图，点B、F、E、C共线，AB∥DC，AB＝DC，BF＝CE．求证：AE＝DF．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.17

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185174. （2025•高新三中•七下期中） $德优题库$ 如图，点F，C在BE上，BF=EC，AB=DE，DF=AC．求证：∠B=∠E．

共享时间:2025-05-11 难度:1 相似度:1.17

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174024. （2024•西工大附中•九上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D=∠AEC，BC=3，CE=2，求AD的长．

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.17

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45255. （2024•汇知中学•七下一月）如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-04-25 难度:3 相似度:1.17

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185372. （2024•高新一中•七下期中） $德优题库$ 已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB=DE，AB∥DE，AF=CD．
求证：BC=EF．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.17

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179549. （2024•爱知中学•九上期中）如图，在△ABC和△ADE中，点C在AD上，AE∥BC，∠BAC＝∠E，AC＝AE，求证：BC＝DA．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.17

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179678. （2025•铁一中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：△BEC是等腰三角形；
（2）若∠CEB=75°，BC=4，求DE的长．

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.17

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179453. （2024•高新一中•九上期中）在一次海上救援中，专业救助船B接收到基地C的指示，在专业救助船B的正南方向上有一艘遇险渔船A需要救援，现在已知专业救助船B在基地C的北偏西48.3°的方向上，且相距20海里，遇险渔船A在基地C的南偏西30°的方向上，若专业救助船B以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救援位置？（结果保留整数，参考数据：sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，sin78.3°≈0.98，

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共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.17

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dyczsxyn

2024-04-24

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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更新:2024-04-24 01:08浏览量:17

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