如图在四边形中与相交于点填空与的位置关系为与的数量关系为过点作交的延长线于点且求证是等边三角形若点分别是线段线段上的动点当的值最小时请确定点的位置并求出与之间的数量关系

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192582. （2024•碑林区•八下一月） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E，∠ABD=∠ADB．
（1）填空：AC与BD的位置关系为，BE与DE的数量关系为；
（2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，且AB=AF．
①求证：△BCD是等边三角形；
②若点G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH+AH的值最小时，请确定点H的位置，并求出GH与CH之间的数量关系．

共享时间:2024-04-24 难度:5

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[考点]

垂线段最短，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，

[答案]

（1）AC⊥BD；BE＝DE；

（2）①证明见解析；②点H的位置见解析，CH＝2GH．

[解析]

（1）解：AC与BD的位置关系为：AC⊥BD；BE与DE的数量关系为：BE＝DE．
理由：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，BE＝DE，
故答案为：AC⊥BD；BE＝DE；
（2）①证明：如图，设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝α+α＝2α，
由（1）知，AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠DCE＝∠F＝α，
∴∠BCE＝∠DCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
解得：α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形；
②解：如图，延长AD至点A′，使DA′＝DA，
∵CD⊥AD，
∴点A与点A′关于直线CD轴对称，过点A′作A′G⊥AC于点G，交CD于点H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH的值最小，
由①知，∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC，即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴当GH+AH的值最小时，点H的位置如图所示，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．

[点评]

本题考查了"垂线段最短，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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174202. （2024•铁一中学•八上一月）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AD为∠BAC的平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则AE＝　．

共享时间:2024-10-17 难度:2 相似度:1.33

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192144. （2024•高新一中•八下一月） $德优题库$ 已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，求证：BD=2CD．

共享时间:2024-04-21 难度:2 相似度:1.33

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21105. （2021•交大附中•九模）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：OE=OF．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.33

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191811. （2023•经开一中•九上二月） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得DC=2AD．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.17

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185620. （2024•铁一中学•七下期中） $德优题库$ 如图，AC=AD，∠1=∠2=50°，∠B=∠AED，点E在线段BC上．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠B的度数．

共享时间:2024-05-10 难度:1 相似度:1.17

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185645. （2024•铁一中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．求证：△AEF是等腰三角形．

共享时间:2024-05-29 难度:1 相似度:1.17

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185672. （2024•滨河中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）若∠BAD=20°，求∠CDF的度数．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.17

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189707. （2025•师大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAD=∠CAE，AC=AE．求证：BC=DE．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.17

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189735. （2025•师大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，点D和点C在线段BE上，AB=EF，AB∥EF，AC∥DF．求证：BD=CE．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.17

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190038. （2025•爱知中学•八上期末） $德优题库$ 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，点E、F在BC上，AE、DF交于点O，已知AC=DB，AE=DF．求证：CF=BE．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.17

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190391. （2025•西工大附中•八上期末） $德优题库$ 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P．求证：PM=PN．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.17

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190586. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点A、F、C、D在同一条直线上，且AF=DC，BC=EF，BC∥EF．若∠B=84°，求∠E的度数．

共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.17

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190615. （2025•交大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE=6，CD=8，求BD的长．

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.17

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191789. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若AC=10，CD=6，求AF的长

共享时间:2024-04-29 难度:1 相似度:1.17

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191791. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：
（1）DE=DC；
（2）AD垂直平分CE．

共享时间:2024-04-29 难度:1 相似度:1.17

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初中数学 | 八年级下 | 解答题

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更新:2024-04-24 01:08浏览量:29

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