如图在中点为边上的两个定点点为边上的两个动点在点运动过程中当四边形的周长最小时的大小为

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179800. （2025•交大附中•八下期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，点M，N为AB边上的两个定点，点P，Q为AC，BC边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形MNPQ的周长最小时，∠NPQ+∠MQP的大小为　　．

共享时间:2025-05-24 难度:1

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[考点]

直角三角形的性质，

[答案]

100°．

[解析]

解：如图，作点N关于AC的对称点D，作点M关于BC的对称点E，连接DE交于AC，BC点P′，Q′，
则DP＝NP，MQ＝EQ，

∴根据两点之间线段最短可得，DP′+P′Q′+EQ′的值最小，
∵四边形MNPQ的周长为MN+PN+PQ+QM≥MN+PD+P′Q′+QE，
∴四边形MNPQ的周长最小值为：MN+PD+P′Q′+QE，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠C＝50°，
在△CPQ 中，∠1+∠3+∠C＝180°，
∴∠1+∠3＝130°，
由对称的性质得：∠NDP′＝∠DNP′，∠EMQ′＝∠MEQ′，
∠BAC＝∠MPQ'＝90°，
∴∠NP′Q′＝∠NDP′+∠DNP′＝2∠NDP′，∠MQ′P′＝∠EMQ′+∠MEQ′＝2∠MEQ′，
90°﹣∠2＝∠NDP'，90°﹣∠4＝∠MEQ'
∴∠NP'Q'＝2（90°﹣∠2），∠MQ'P'＝2（90°﹣4），
∴∠NPQ+∠MQP＝2（90°﹣∠2）+2（90°﹣4）＝360°﹣2（∠2+∠4），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠NPQ+∠MQP＝2（90°﹣∠2）+2（90°﹣4）＝360°﹣2（∠1+∠3）＝360°﹣2×130°＝100°，
即当四边形MNPQ的周长最小时，∠NPQ+∠MQP的大小为100°，
故答案为：100°．

[点评]

本题考查了"直角三角形的性质，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2024-05-24 难度:3 相似度:1.33

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$德优题库$