如图等腰直角三角形中点为外一点则的长为

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179125. （2025•师大附中•八下期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M为△ABC外一点，BM＝13，MA＝5，∠AMC＝45°，则MC的长为　．

共享时间:2025-05-21 难度:4

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[考点]

等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，

[答案]

．

[解析]

解：方法一：过点C作CD⊥CM，且CD＝CM，连接AD、MD，如图：

∴∠MCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠MCD＝∠ACB，
∴∠MCD+∠ACM＝∠ACB+∠ACM，
∴∠BCM＝∠ACD，
∵AC＝BC，CD＝CM，
∴△BCM≌△ACD（SAS），
∴BM＝AD＝13，
∵CM＝CD，∠MCD＝90°，
∴∠CMD＝∠CDM＝45°，
∵∠AMC＝45°，
∴∠AMD＝90°，
∴DM＝

＝12，
∵CM²+CD²＝DM²，CM＝CD，
∴2CM²＝144，
解得：CM＝6

，
故答案为：6

．
方法二：作AD⊥CM于点D，BE⊥MC交其延长线于点E，如图：

∵MA＝5，∠AMC＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，AD＝DM＝

，
∵∠BCE+∠ACD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∵∠BEC＝∠CDA＝90°，BC＝CA，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝

，CD＝BE，
设CM＝x，则ME＝x+

，BE＝CD＝x﹣

，
在Rt△BEM中，BE²+ME²＝BM²，
∴（x﹣

）+（x+

）＝13²，
解得：x＝6

，
∴CM＝6

，
故答案为：6

．
方法三：作CN⊥MC交MA延长线于点N，连接BN得△MNC为等腰直角三角形，如图：

方法同一，证△BCN≌ACM，
∴∠BNC＝∠ANC＝∠AMC＝45°，BN＝AM＝5，
∵BM＝13，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：MN＝12，
在等腰直角三角形MNC中，CM＝

MN＝6

．
故答案为：6

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

845. （2014•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为　　．

共享时间:2014-09-18 难度:4 相似度:1.25

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25098. （2022•铁一中学•八下期中）如图，∠MPN=90°，△ABO是等腰直角三角形，点O为直角顶点，顶点A、B分别在∠MPN的两边上，点Q在PN上，且PQ=10，连接QO，则QO的最小值为．
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共享时间:2022-05-18 难度:2 相似度:1.17

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23416. （2020•西工大附中•八上二月）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=

+2，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．
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共享时间:2021-01-09 难度:4 相似度:1.17

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910. （2017•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　　．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.17

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23414. （2020•西工大附中•八上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是．

共享时间:2021-01-09 难度:4 相似度:1

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23057. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在长方形ABCD中，点P为AD上一个动点，沿PB将△ABP折叠得到△EBP，点A的对称点为点E，射线BE交长方形ABCD的边于点F，若AB=4，AD=8，直线BE过长方形ABCD一边的中点时，AP的长为．
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20852. （2020•高新一中•一模）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝

，则四边形ABCD面积的最小值是　　．

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:1

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19036. （2019•漳州双语实验学校•月考）等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为______．

共享时间:2021-04-27 难度:4 相似度:0.9

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23081. （2021•高新一中•九上期中）如图所示，已知△OAC和△ABC都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ABC=90°，反比例函数y=

在第一象限的图象经过点B，连接OB，且S_△OAB=4．则k的值为．
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共享时间:2021-11-25 难度:4 相似度:0.83

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225. （2020•石狮市石光中学•模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是　　．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.79

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22364. （2020•铁一中学•八上一月） $德优题库$ 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，Q是△ABC边上的动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，当经过秒时△BCQ为等腰三角形．

共享时间:2020-10-13 难度:4 相似度:0.75

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24835. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=55°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为　．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:0.75

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24188. （2017•爱知中学•八下期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=5，AC=4，则D点到AB的距离是．
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共享时间:2017-05-06 难度:3 相似度:0.75

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24144. （2021•高新一中•七下期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A=30°，∠E=∠ECD=45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为．
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