已知函数是定义在上的奇函数且若对任意的当时都有成立则不等式的解集为

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172374. （2021•西安中学•高一上期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意的x₁，x₂∈（﹣∞，0），当x₁≠x₂时，都有

＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为　　．

共享时间:2021-11-10 难度:1

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[考点]

抽象函数的周期性，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：根据题意，设g（x）＝xf（x），
若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），则g（x）为R上的偶函数，
若f（﹣1）＝0，则g（﹣1）＝g（1）＝0，
又由对任意的x₁，x₂∈（﹣∞，0），当x₁≠x₂时，都有

＜0成立，则g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，
则在（﹣∞，﹣1）上，g（x）＝xf（x）＞0，在（﹣1，0）上，g（x）＝xf（x）＜0，
又由x∈（﹣∞，0），则在（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在（﹣1，0），f（x）＞0，
又由f（x）为奇函数，在（0，1），f（x）＜0，
综合可得：f（x）的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．

[点评]

本题考查了"抽象函数的周期性，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2024-03-12 难度:1 相似度:2

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，且x∈[0，2）时，f（x）＝3^x，则f（2022）＝　　．

共享时间:2020-02-11 难度:1 相似度:2

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为偶函数，且g（1）＝2，g（3）＝﹣3，则

＝　　．

共享时间:2023-07-19 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.5

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共享时间:2023-11-30 难度:2 相似度:1.5

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167665. （2024•西安中学•一模）函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝3^x﹣1，则f（567）＝　　．

共享时间:2024-03-11 难度:3 相似度:1.33

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dygzsxyn

2021-11-10

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2021-2022学年陕西省西安中学高一（上）期中数学试卷

更新:2021-11-10 10:27浏览量:5

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