已知偶函数在区间上单调递增且满足给出下列判断在上是增函数的图象关于直线对称函数在处取得最小值函数没有最大值其中判断正确的序号是

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166833. （2024•西安八十五中•一模）已知偶函数y＝f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：
①f（﹣3）＝0；②f（x）在[1，2]上是增函数；③f（x）的图象关于直线x＝1对称；④函数f（x）在x＝2处取得最小值；⑤函数y＝f（x）没有最大值，其中判断正确的序号是　．

共享时间:2024-03-12 难度:1

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[考点]

抽象函数的周期性，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），所以f（4+x）＝f（x），所以函数的周期是4．
当x＝0时，f（1）+f（1）＝0，所以f（1）＝0，因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，
∴f（﹣3）＝f（1）＝0所以①正确；
因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]单调递减，所以②不正确；
因为y＝f（x）是偶函数，所以对称轴为x＝0+2k，所以③不正确．
因为偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]单调递减，[2，3]单调递增，所以在x＝2处取得最小值，故④正确；
显然函数的最大值为f（0）故⑤错误；
故答案为：①④．

[点评]

本题考查了"抽象函数的周期性，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170833. （2020•铁一中学•高一上期末）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝

，且x∈[0，2）时，f（x）＝3^x，则f（2022）＝　　．

共享时间:2020-02-11 难度:1 相似度:2

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172374. （2021•西安中学•高一上期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意的x₁，x₂∈（﹣∞，0），当x₁≠x₂时，都有

＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为　　．

共享时间:2021-11-10 难度:1 相似度:2

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169916. （2023•长安区一中•高二下期末）已知函数f（x）及其导函数f'（x）定义域均为R，记函数g（x）＝f'（x），若函数f（x）的图像关于点（3，0）中心对称，

为偶函数，且g（1）＝2，g（3）＝﹣3，则

＝　　．

共享时间:2023-07-19 难度:2 相似度:1.5

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171197. （2024•西安八十九中•高一上期中）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是　　．

共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.5

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171237. （2023•师大附中•高一上期中） “函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数”．该结论可以推广为：“函数y＝f（x）的图象关于P（m，n）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+m）﹣n为奇函数”．则函数f（x）＝x³﹣3x²+1的对称中心为　．

共享时间:2023-11-30 难度:2 相似度:1.5

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167665. （2024•西安中学•一模）函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝3^x﹣1，则f（567）＝　　．

共享时间:2024-03-11 难度:3 相似度:1.33

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dygzsxyn

2024-03-12

高中数学 | | 填空题

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2024-2025学年陕西省西安八十五中高三（上）第一次模拟数学试卷

更新:2024-03-12 06:30浏览量:12

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