已知直线的方程为求证不论为何值直线必过定点过点引直线交坐标轴正半轴于两点当面积最小时求的周长

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171160. （2024•西安八十五中•高二上期中）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．
（1）求证：不论m为何值，直线l必过定点M（3，1）；
（2）过点M引直线l₁交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．

共享时间:2024-11-25 难度:2

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[考点]

运用基本不等式求最值，恒过定点的直线，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）

．

[解析]

（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0可得：m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，
令

，解得

，
所以直线l过定点M（3，1）；
（2）解：由题意可设直线l₁的方程为y﹣1＝k（x﹣3）（k＜0），
设直线l₁与x轴，y轴正半轴交点分别为A，B，
令x＝0，得y_B＝1﹣3k；令y＝0，得

＞0，
所以△AOB面积＝

•（1﹣3k）•（3﹣

）＝

[3+3+（﹣9k）+（﹣

）]≥2

＝6，
当且仅当

，即

时，△AOB面积最小，
此时A（6，0），B（0，2），

，
所以△AOB的周长为

．
所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为

．

[点评]

本题考查了"运用基本不等式求最值，恒过定点的直线，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

138410. （2024•铁一中学•高一上一月）问题：正数a，b满足a+b＝1，求

的最小值．其中一种解法是：

，当且仅当

，且a+b＝1时，即a＝

﹣1且b＝2﹣

时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足xy＝3x+y，求x+y的最小值；
（2）若正实数a，b，x，y满足

＝1，且a＞b，试比较a²﹣b²和（x﹣y）²的大小，并说明理由；
（3）若m＞0，利用（2）的结论，求代数式M＝

的最小值，并求出使得M最小的m的值．

共享时间:2024-10-26 难度:1 相似度:1.5

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166777. （2024•西安工业大学附中•高一上一月）已知正实数a，b满足：2a+b＝1．
（1）求

的最小值；
（2）求

的最小值；
（3）求

的最小值．

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.5

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170990. （2024•庆安中学（高）•高一上期中）已知a＞0，b＞0，且

．
（1）证明

．
（2）求2a+b的最小值．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.5

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166584. （2024•华清中学•高二上一月）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1

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166998. （2023•西安中学•高一上一月）（1）已知a，b，∈R⁺，证明不等式

（2）解关于x的不等式ax²﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）．

共享时间:2023-10-14 难度:2 相似度:1

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169482. （2024•西工大附中•高二上期末）已知抛物线的方程是y²＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若弦AB的中点为（3，3），求直线l的方程；
（2）若y₁y₂＝﹣12，求证：直线l过定点．

共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1

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170950. （2024•西工大附中•高二上期中）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝0，圆C：x²+y²﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长．

共享时间:2024-11-30 难度:2 相似度:1

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171480. （2023•西工大附中•高二上期中）已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）证明：直线l恒过定点，且直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

共享时间:2023-11-17 难度:2 相似度:1

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169946. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-10 难度:3 相似度:0.83

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169969. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-13 难度:3 相似度:0.83

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170166. （2023•铁一中学•高二上期末）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（x_A，0），B（0，y_B），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长及此时的直线方程；
（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．

共享时间:2023-02-15 难度:3 相似度:0.83

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2024-11-25

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2024-2025学年陕西省西安八十五中高二（上）期中数学试卷

更新:2024-11-25 07:40浏览量:8

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