已知动圆过定点且在轴上截得的弦长为求动圆圆心的轨迹方程设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点若求证直线过定点

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169946. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-10 难度:3

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[考点]

恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合，轨迹方程，

[答案]

（1）x²＝6y；
（2）证明过程见解析．

[解析]

解：（1）不妨设动圆圆心为M（x，y），
此时

，
其到x轴距离为|y|，x轴截得半弦长为3，
可得x²+（y﹣3）²＝|y|²+3²，
整理得x²＝6y；
所以动圆圆心M的轨迹方程为x²＝6y；
（2）证明：易知直线l的斜率存在，
不妨设直线l的方程为y＝kx+b，
联立

，消去y并整理得x²﹣6kx﹣6b＝0，
易知Δ＝（﹣6k）²﹣4×（﹣6b）＝12（3k²+2b）＞0，
由韦达定理得x₁+x₂＝6k，x₁x₂＝﹣6b．
若

，
此时x₁+x₂＝4x₁x₂，

整理得6k＝﹣24b，
即

，
则直线

，
故直线l过定点

．

[点评]

本题考查了"恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合，轨迹方程，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169969. （2023•长安区一中•高二上期末）已知动圆过定点A（0，3），且在x轴上截得的弦长为6．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设不与x轴垂直的直线l与点M的轨迹交于不同的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．若

，求证：直线l过定点．

共享时间:2023-02-13 难度:3 相似度:2

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167146. （2023•西安中学•高二上二月）一动圆与圆C₁：x²+y²+6x+5＝0外切，同时与圆C₂：x²+y²﹣6x﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

共享时间:2023-12-17 难度:2 相似度:1.67

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167943. （2023•师大附中•三模）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆

内切，且与直线x＝﹣2相切，设动圆圆心C的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）已知P（4，y₀）（y₀＞0）是曲线E上一点，A，B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且

，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67

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172182. （2022•西安三中•高二上期中）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x＝

的距离的比是常数

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）直线l：y＝kx+b与M的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为（6，2），求直线l的方程．

共享时间:2022-11-22 难度:2 相似度:1.67

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170816. （2020•西安中学•高二上期末）一个圆经过点F（2，0），且和直线x+2＝0相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

共享时间:2020-02-15 难度:2 相似度:1.67

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170191. （2023•高新一中•高一下期末）已知圆C：x²+y²＝2x，动点P在y轴的右侧，P到轴的距离比它到的圆心C的距离小1．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，求|AB|及直线l的方程．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1.67

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171439. （2024•长安区一中•高二下期中）已知动圆M经过定点

，且与圆F₂：

内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k_AP、k_AQ．
（i）求证：k_AP•k_AQ为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．

共享时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1.67

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168275. （2021•西安中学•五模）如图，已知点F₁（﹣1，0），F₂（1，0），以线段F₂G为直径的圆内切于圆O：x²+y²＝4．
（1）证明|GF₁|+|GF₂|为定值，并写出点G的轨迹E的方程；
（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且

，求△ABC的面积．

共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:1.67

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167786. （2024•西安一中•三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点M（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x＝4的距离之比是常数

，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（﹣1，0）的直线与曲线C相交于点A，B（不在x轴上），记线段AF的中点为P，连接PO，并延长PO交曲线C于点D，求△FPN与△BND的面积之和的取值范围．

共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:1.67

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171846. （2022•西安中学•高二上期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求

的值；
（3）若曲线C上不同的两点M、N满足

，求

的取值范围．

共享时间:2022-11-28 难度:3 相似度:1.34

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171066. （2024•高新一中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点的坐标分别为

，

，直线PN，QN相交于点N，且它们的斜率之积是

．
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）若点N的轨迹与直线y＝kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为﹣1，求线段AB的长．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:1.33

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168919. （2021•高陵一中•二模）已知离心率为

的椭圆C：

的一个顶点恰好是抛物线x²＝4y的焦点，过点M（4，0）且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值．

共享时间:2021-03-23 难度:1 相似度:1.33

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169126. （2020•西工大附中•三模）已知点F（0，﹣1），直线l：y＝﹣2，动点P到直线l的距离为d，且

，记P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线m与C交于A，B两点，判断

是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

共享时间:2020-04-03 难度:1 相似度:1.33

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172183. （2022•西安三中•高二上期中）已知直线l：y＝x+b与抛物线C：y²＝2x．
（1）若直线l与抛物线C相切，求实数b的值；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．

共享时间:2022-11-22 难度:1 相似度:1.33

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169194. （2020•交大附中•三模）已知椭圆C₁：

＝1的离心率与双曲线y²﹣

＝1的离心率互为倒数，直线l：y＝x+2与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设第（2）问中的C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足