已知抛物线的方程是直线交抛物线于两点设若弦的中点为求直线的方程若求证直线过定点

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169482. （2024•西工大附中•高二上期末）已知抛物线的方程是y²＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若弦AB的中点为（3，3），求直线l的方程；
（2）若y₁y₂＝﹣12，求证：直线l过定点．

共享时间:2024-02-02 难度:2

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[考点]

恒过定点的直线，直线与抛物线的综合，

[答案]

（1）y＝

x+1．
（2）证明详情见解答．

[解析]

解：（1）因为抛物线的方程为y²＝4x，
所以

＝4x₁，

＝4x₂，
因为弦AB的中点为（3，3），
所以x₁≠x₂，
两式相减得

﹣

＝4x₁﹣4x₂，
所以

＝

，
所以直线l的方程为y﹣3＝

（x﹣3），即y＝

x+1．
（2）证明：当l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx+b，
联立

，得ky²﹣4y+4b＝0，
所以y₁y₂＝

＝﹣12，则b＝﹣3k，
所以直线l的方程为y＝kx﹣3k＝k（x﹣3），过定点（3，0），
当直线l的斜率不存在时，直线l与x轴垂直，则x₁＝x₂＞0，
因为y₁y₂＝﹣12，
所以

•

＝16x₁x₂，
所以（﹣12）²＝16

，
所以x₁＝3，则x₂＝3，
所以直线l过定点（3，0），
综上所述，直线l过定点（3，0）．

[点评]

本题考查了"恒过定点的直线，直线与抛物线的综合，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167604. （2023•新城一中•高二上二月）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）²+y²＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:1.5

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169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.5

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170148. （2023•铁一中学•高二下期末）已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|﹣|MF₂|＝2，且F₁（﹣2，0），F₂（2，0）．
（1）求C的方程；
（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F₂（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：点R在定直线上．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:1.5

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170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5

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170465. （2022•西工大附中•高一下期末）如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求

的最小值及此时点G的坐标．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

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170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.5

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169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.5

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166528. （2024•城关中学•高二上二月）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²＝2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

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171481. （2023•西工大附中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y²＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.5

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166331. （2024•西安中学•高二上二月）已知直线l经过抛物线y²＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB长的最小值．
（3）过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OM，ON分别交抛物线于M，N．证明：直线MN过定点．

共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:1.5

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171480. （2023•西工大附中•高二上期中）已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）证明：直线l恒过定点，且直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

共享时间:2023-11-17 难度:2 相似度:1

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171160. （2024•西安八十五中•高二上期中）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．
（1）求证：不论m为何值，直线l必过定点M（3，1）；
（2）过点M引直线l₁交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．

共享时间:2024-11-25 难度:2 相似度:1

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1

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170012. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），点A（4，﹣1），P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d的最小值为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得

，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1

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170950. （2024•西工大附中•高二上期中）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝0，圆C：x²+y²﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长．

共享时间:2024-11-30 难度:2 相似度:1

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2024-02-02

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期末数学试卷

更新:2024-02-02 12:39浏览量:9

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