设函数的定义域为且满足当时则下列说法错误的是当时的取值范围为为偶函数方程仅有个不同实数解

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169227. （2025）设函数y＝f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x²+1，则下列说法错误的是（　　）

A.f（2024）＝﹣1

B.．当x∈[4，6]时，f（x）的取值范围为[﹣1，0]

C.y＝f（x+3）为偶函数

D.．方程f（x）＝lg（x+1）仅有6个不同实数解

共享时间:2025-05-02 难度:2

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[考点]

奇偶性与单调性的综合，函数的零点与方程根的关系，

[答案]

ACD

[解析]

解：当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x²+1，
∴当﹣1≤x＜0时，0≤f（x）＜1，当0≤x≤1时，0≤f（x）≤1，
又∵函数y＝f（x）的定义域为R，
且f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），
即f（x）＝﹣f（﹣x﹣2），
因此有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x﹣2），
即f（x+2）＝﹣f（x﹣2），
∴f（x+4）＝﹣f（x），
于是有f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
从而得函数f（x）的周期T＝8，
对于A，f（2024）＝f（253×8+0）＝f（0）＝1，故A错误；
对于B，当4≤x≤5时，0≤x﹣4≤1，有0≤f（x﹣4）≤1，
则f（x）＝﹣f（x﹣4）∈[﹣1，0]，
当5≤x≤6时，﹣4≤2﹣x≤﹣3，0≤（2﹣x）+4≤1，
有0≤f[（2﹣x）+4]≤1，
f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f[（2﹣x）+4]∈[﹣1，0]，
∴当x∈[4，6]时，f（x）的取值范围为[﹣1，0]，故B正确；
对于C，∵f（x）＝﹣f（x﹣4），f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x+3）＝﹣f[（x+3）﹣4]＝﹣f（x﹣1）＝﹣f[2﹣（x﹣1）]＝﹣f（3﹣x），
∴函数y＝f（x+3）为奇函数，故C错误；
对于D，∵f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于x＝1对称，
又f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），即f（﹣x）+f（x﹣2）＝0，
∴f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，
由前述说明可知f（x）的值域为[﹣1，1]，
又当x＝9时，y＝lg（x+1）＝lg（9+1）＝1，
当x＞9时，y＝lg（x+1）＞lg10＝1，
在同一坐标平面内作出函数y＝f（x）与y＝lg（x+1）的部分图象，如图所示：

方程f（x）＝lg（x+1）的实根的个数，
即是函数y＝f（x）与y＝lg（x+1）的图象交点的个数，
观察图象知，函数y＝f（x）与y＝lg（x+1）的图象有5个交点，
因此方程f（x）＝lg（x+1）仅有5个不同实数解，故D错误．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"奇偶性与单调性的综合，函数的零点与方程根的关系，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169226. （2025）已知函数

，下面说法正确的有（　　）

A.f（x）是偶函数

B.．f（x）的值域为（﹣2，2）

C.．f（x）的图象关于原点对称

D.∀x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，恒成立

共享时间:1970-01-01 难度:1 相似度:1.5

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169497. （2024•铁一中学•高一上期末）已知函数

，若方程f（x）＝k（k∈R）有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x₁，x₂，x₃，x₄，则（　　）

A.0＜k＜

C.0＜x₃＜

B.x₁+x₂＝﹣1

D.0＜x₁x₂x₃x₄＜

共享时间:2024-02-13 难度:1 相似度:1.5

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169891. （2023•长安区一中•高一上期末）设函数

函数g（x）＝f（x）﹣k，若g（x）有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，且满足x₁＜x₂＜x₃，则下列说法正确的有（　　）

C.．x₂+3x₃的取值范围是

B.k＞1

D.3x₂+x₃的取值范围是

共享时间:2023-02-03 难度:1 相似度:1.5

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166400. （2024•远东二中•高一上一月）若ax²+2x-1=0只有一个根，则实数a的取值可以为（　　）

A.1

B.-1

D.4

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169454. （2024•长安区一中•高一上期末）函数f（x）的定义域为R，f（1+x）为奇函数，且f（x+2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣x，则下列不等式成立的是（　　）

C.f（sin1）＜f（cos1）

D.f（cos2）＜f（sin2）

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1

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169583. （2024•高新一中•高一上期末）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

A.方程f（g（x））＝0有且仅有6个根

B.．方程g（f（x））＝0有且仅有3个根

C.．方程f（f（x））＝0有且仅有4个根

D.方程g（g（x））＝0有且仅有4个根

共享时间:2024-02-29 难度:2 相似度:1

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169580. （2024•高新一中•高一上期末）已知函数

，则下列说法正确的是（　　）

A.f（x）是偶函数

B.f（x）是奇函数

C.f（x）在（﹣1，1）上是增函数

D.f（x）在（﹣1，1）上是减函数

共享时间:2024-02-29 难度:3 相似度:0.83

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169888. （2023•长安区一中•高一上期末）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

A.y＝|log₂x|

B.y＝x^﹣2

D.．

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170964. （2024•曲江二中•高一上期中）若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，有（x₁﹣x₂）[f（x₁）﹣f（x₂）]＜0，则称函数f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（　　）

A.．f（x）＝x²

B.f（x）＝﹣x³

D.．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:0.83

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高中数学 | 高一上 | 多选题

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