如图已知三棱柱为线段上的动点求证平面平面若为线段的中点求与平面所成角的正弦值

首页 > 试题列表 > 单题解析

168079. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-27 难度:2

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

平面与平面垂直，直线与平面所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）

．

[解析]

证明：（1）因为AC₁⊥A₁C，AC₁⊥BD，A₁C∩BD＝D，AC，BD⊂平面A₁BC，
所以AC₁⊥平面A₁BC．
又BC⊂平面A₁BC，
所以AC₁⊥BC，
又∠ACB＝90°，即BC⊥AC，而AC∩A₁C＝A，AC，A₁C⊂平面ACC₁A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．
又因为BC⊂平面ABC
，所以平面ACC₁A₁⊥平面ABC．
（2）解：由（1）知平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
又平面ACC₁A₁∩平面ABC＝AC，AA₁⊥AC，AA₁⊂平面ACC₁A₁，
所以由线面垂直判定定理可，AA₁⊥平面ABC，
又A₁A∥C₁C，
所以CC₁⊥平面ABC，
所以CA，CB，CC₁两两垂直，
以C为坐标原点，

，

的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：

因为AA₁⊥AC，
所以四边形ACC₁A₁为矩形，
又因为AC₁⊥A₁C，所以四边形ACC₁A₁为正方形．
因为AC＝2，BC＝1，所以CC₁＝2，
所以C（0，0，0），B（0，1，0），A₁（2，0，2），B₁（0，1，2）．
由D是线段A₁C的中点，得D（1，0，1），
所以

，

．
设平面A₁BC的一个法向量为

，
则

即

取x＝1，则z＝﹣1，所以

，

＝

，

＝

，
所以

．
设直线B₁D与平面A₁BC所成的角为α，则

，
所以直线B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"平面与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168963. （2021•交大附中•四模）如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．

共享时间:2021-04-20 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

166797. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝

PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

170391. （2022•长安区一中•高二下期末）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得PB＝

，如图2．

（1）求证：面PCE⊥面ABCE；
（2）求PC与面ABP所成角的正弦值．

共享时间:2022-07-21 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168056. （2023•长安区一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形．

，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC＝60°，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

169550. （2024•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC．∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝

AD＝1，CD＝

．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C的大小为30°，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．

共享时间:2024-02-22 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

169214. （2025•师大附中•高二上期末）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有棱长相等，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝∠BAD＝60°．
①证明：平面A₁AC⊥平面A₁BD；
②求直线BC₁与平面A₁AC所成角的正弦值？

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

166466. （2024•铁一中学•高三上三月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

171847. （2022•西安中学•高二上期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中点，如图所示．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）在线段A₁B上是否存在点N（N不与端点A₁、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A₁N与BN的比值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-11-28 难度:3 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170011. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，

，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面ANMB⊥平面NMP；
（3）求直线CD与平面ABP所成角的正弦值．

共享时间:2023-02-15 难度:3 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

168297. （2022•西工大附中•一模）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和

个圆柱拼接而成，点G为弧

的中点，且C、E、D、G四点共面．
（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；
（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为

，求直线DF与平面ABF所成角的大小．

共享时间:2022-03-12 难度:3 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2023-12-29 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的

．

共享时间:2022-02-23 难度:4 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

dygzsxyn

2023-07-27

高中数学 | | 解答题

下载量
浏览量
收益额

相关试卷 更多>>

2023年陕西省西安市西工大附中高考数学第十三次适应性试卷（文科）

更新:2023-07-27 08:40浏览量:6

普通登录

手机登录

微信扫码立即登录