如图在四棱锥中是边长为的正三角形分别是线段的中点求证平面求证平面平面求直线与平面所成角的正弦值

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170011. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，

，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面ANMB⊥平面NMP；
（3）求直线CD与平面ABP所成角的正弦值．

共享时间:2023-02-15 难度:3

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[考点]

直线与平面平行，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，

[答案]

（1）证明见解析，（2）证明见解析；（3）

．

[解析]

（1）证明：如图，取MN中点Q，连CQ，DQ．
∵DQ为中位线，∴DQ∥MP，又DQ⊄平面BMP，MP⊂平面BMP，
∴DQ∥平面BMP．
同理，在梯形ABMN中，CQ∥MB，又CQ⊄平面BMP，MB⊂平面BMP，
∴CQ∥平面BMP，且DQ⊂平面CDQ，CQ⊂平面CDQ，DQ∩CQ＝Q，
∴平面CDQ∥平面BMP．
又CD⊂平面CDQ，所以CD∥平面BMP．

（2）证明：如上图，在四边形ABMN中，过B作BE∥MN交AN于E，
在△AEB中，得AE＝2，BE＝2，

，则AB²＝AE²+BE²，得AE⊥BE，
∵BE∥MN，∴AN⊥NM．
又由已知条件AN⊥NP，NM∩NP＝N，故AN⊥平面NMP．
又AN⊂平面ANMB，∴平面ANMB⊥平面NMP．
（3）解：设点D到面ABP的投影距离为h，则

，Rt△CDQ中，CQ＝2，DQ＝1，由勾股定理，

，
又由V_D_﹣ABP＝V_P_﹣ABD，V_D_﹣ABN＝V_N_﹣ABD＝V_P_﹣ABD，

得

，解得

．
从而得

．
故直线CD与平面ABP所成角的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168388. （2023•交大附中•十三模）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝

CP，DE＝

DA．
（1）证明：EF∥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:1.67

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167128. （2023•西安中学•高二上一月）如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是△ADE的重心，连结AC，BE交于点F．

（1）求证：GF∥平面CDE；
（2）求直线GF与平面BCD所成角的正弦值．

共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:1.67

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168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1.67

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166466. （2024•铁一中学•高三上三月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:1.67

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168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.67

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168079. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.67

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168056. （2023•长安区一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形．

，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC＝60°，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:1.67

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167900. （2024•西安八十九中•三模）如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67

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166797. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝

PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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167189. （2023•周至四中•一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB₁＝2，D，E，F分别为AA₁，B₁C₁，AB的中点．
（1）证明：EF∥平面ACC₁A₁；
（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.67

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168297. （2022•西工大附中•一模）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和

个圆柱拼接而成，点G为弧

的中点，且C、E、D、G四点共面．
（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；
（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为

，求直线DF与平面ABF所成角的大小．

共享时间:2022-03-12 难度:3 相似度:1.34

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.34

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167236. （2023•周至六中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.34

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．