如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成点为弧的中点且四点共面证明平面平面若平面与平面所成锐二面角的余弦值为求直线与平面所成角的大小

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168297. （2022•西工大附中•一模）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和

个圆柱拼接而成，点G为弧

的中点，且C、E、D、G四点共面．
（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；
（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为

，求直线DF与平面ABF所成角的大小．

共享时间:2022-03-12 难度:3

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[考点]

平面与平面垂直，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：连接CE，因为∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，即CE⊥CG．
因为BC∥EF，且BC＝EF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以BF∥EC，
因此，BF⊥CG．
因为BC⊥平面ABF，BF⊂平面ABF，所以BC⊥BF．
又因为BC∩CG＝C，所以BF⊥平面BCG，
又因为BF⊂平面BFD，所以平面BFD⊥平面BCG．
（2）解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AF＝2，AD＝t，

则A（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），D（0，0，t），G（﹣1，1，t），
于是

，

．
设平面BDF的一个法向量为

，
由

，
令z＝2，得

．
设平面ABG的一个法向量为

，
由

，
令z'＝1，得

．
由平面BDF与平面ABG所成的锐二面角的余弦值为

，得

，
解得t＝2，即AD＝2．
因为DA⊥平面ABF，所以∠DFA就是直线DF与平面ABF所成的角，
在△ADF中，因为∠DAF＝90°，AD＝AF＝2，所以∠DFA＝45°，
因此直线DF与平面ABF所成的角为45°．

[点评]

本题考查了"平面与平面垂直，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.67

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167988. （2023•师大附中•十一模）如图，AB，CD分别是圆台上、下底面的直径，且AB∥CD，点E（异于D，C两点）是下底面圆周上一点，AB＝2

，圆台的高为

．
（1）证明：不存在点E使平面AEC⊥平面ADE；
（2）若DE＝CE＝4，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．

共享时间:2023-07-16 难度:2 相似度:1.67

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166487. （2024•铁一中学•高二上一月）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB＝4，AB⊥AC，PB⊥AC．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求PD与平面PAB所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-10-27 难度:2 相似度:1.67

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166466. （2024•铁一中学•高三上三月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:1.67

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166797. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝

PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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168056. （2023•长安区一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形．

，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC＝60°，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:1.67

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166367. （2024•长安区一中•高三上四月）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD₁⊥CD．点M为CD₁的中点，且CD₁＝2BM．
（1）证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为﹣

，当BD₁＞BD时，求BD₁的长．

共享时间:2024-02-12 难度:2 相似度:1.67

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168079. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.67

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-04 难度:3 相似度:1.34

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．

共享时间:2023-10-15 难度:3 相似度:1.34

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.34

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．