已知函数若曲线在点处的切线经过原点求的值设若对任意均存在使得求的取值范围

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167717. （2024•西安一中•五模）已知函数

．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过原点，求a的值；
（2）设g（x）＝x²﹣2x，若对任意s∈（0，2]，均存在t∈（0，2]，使得f（s）＜g（t），求a的取值范围．

共享时间:2024-05-13 难度:2

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[考点]

利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[答案]

（1）a＝4；

（2）（0，1﹣ln2）．

[解析]

解：（1）由

，可得

．
因为f'（1）＝2﹣a+2a﹣1＝a+1，f（1）＝

，
所以切点坐标为

，切线方程为：

，
因为切线经过（0，0），所以

，解得a＝4．
（2）由题知f（x）的定义域为（0，+∞），

，
令f'（x）＝ax²﹣（2a﹣1）x﹣2＝0，解得

或x＝2，
因为a＞0，所以

，所以

，
令f'（x）＞0，即ax²﹣（2a﹣1）x﹣2＜0，解得：

，
令f'（x）＜0，即ax²﹣（2a﹣1）x﹣2＞0，解得：

或x＞2，
所以f（x）增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）．
因为g（t）＝t²﹣2t＝（t﹣1）²﹣1，所以函数g（t）在区间（0，2]的最大值为0，
函数f（s）在（0，2）上单调递增，故在区间（0，2]上f（s）_max＝f（2）＝2ln2+2a﹣2，
所以2ln2+2a﹣2＜0，即ln2+a﹣1＜0，故a＜1﹣ln2，
所以a的取值范围是（0，1﹣ln2）．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167810. （2024•西安一中•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2ey+1＝0垂直，求a的值；
（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）＝f（x）﹣xlnx零点的个数．

共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:2

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167879. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝2sinx﹣ax．
（Ⅰ）若函数在[0，π]内点A处的切线斜率为﹣a（a≠0），求点A的坐标；
（Ⅱ）①当a＝1时，求g（x）＝f（x）﹣ln（x+1）在

上的最小值；
②证明：

．

共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:2

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166469. （2024•铁一中学•高三上三月）定义：若函数f（x）图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y＝f（x）在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y＝f（x）的“双重切点”，直线PQ为曲线y＝f（x）的“双重切线”．
（1）直线y＝x﹣

是否为曲线f（x）＝

x²﹣2x+2lnx的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数g（x）＝

，求曲线y＝g（x）的“双重切线”的方程；
（3）已知函数h（x）＝cosx，直线PQ为曲线y＝h（x）的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k₁k₂，…，k_n，若k₁＞k₂＞k_i（i＝3，4，5，…，n），证明：

．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:2

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166718. （2024•西安三中•高一上二月）已知函数f（x）＝xe^x﹣2ax（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

，求a的值；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的值．

共享时间:2024-12-11 难度:2 相似度:2

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168368. （2022•长安区一中•三模）已知函数f（x）＝（3x﹣a）e^x+cosx+2．
（1）若对∀a∈R，曲线y＝f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线恒过点（﹣1，0），求x₀的值；
（2）当a≤3时，证明：f（x）≥0．

共享时间:2022-04-05 难度:2 相似度:2

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167106. （2023•西安中学•高三上二月）已知函数f（x）＝x²﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．
（1）若a＝1，f（x）＞g（x）在区间（0，t）上恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若函数f（x）和g（x）有公切线，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:2

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167671. （2024•西安中学•一模）已知函数f（x）＝lnx﹣x+（x﹣2）e^x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≤b对任意的

恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:2

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168437. （2021•西安中学•七模）已知函数f（x）＝

．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤e^x+

﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-06-06 难度:3 相似度:1.67

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167764. （2024•西安一中•三模）已知曲线

在点（0，f（0））处的切线的斜率为3，且当x＝3时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若存在x∈[0，3]，使得不等式f（x）﹣m≤0成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-04-15 难度:3 相似度:1.67

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167626. （2024•师大附中•十模）已知函数

，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．
（1）求φ的值；
（2）若对∀x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（3）利用下表数据证明：

．


1.010	0.990	2.182	0.458	2.204	0.454

共享时间:2024-07-09 难度:3 相似度:1.67

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168229. （2021•西安中学•四模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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167855. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）设g（x）＝x•f（x），证明：g（x）存在唯一的极大值点x₀，且g（x₀）＜

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.5

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168082. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:1.5

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168105. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:1.5

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168253. （2021•西安中学•五模）已知函数f（x）＝e^x﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）＝ln（e^x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.5

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2024-05-13

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2024年陕西省西安一中高考数学五模试卷（文科）

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