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167695. (2024•西安中学•五模) 已知函数fx)=ex+cosx﹣2,gx)=sinx
(1)求证:当x∈(0,+∞),gx)<xfx);
(2)若x∈(0,+∞),fx)+gx)>ax恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2024-05-09 难度:2
[考点]
函数恒成立问题,利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)证明见解析;
(2)(﹣∞,2].
[解析]
解:(1)证明:设Gx)=xgx)=x﹣sinxx>0,
G′(x)=1﹣cosx≥0,所以Gx)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以Gx)>G(0)=0,即gx)<x
Fx)=fx)﹣xex+cosx﹣2﹣xx>0,
F′(x)=ex﹣sinx﹣1,
x>0时,gx)<x,即﹣sinx>﹣x
所以F′(x)=ex﹣sinx﹣1>exx﹣1,
hx)=exx﹣1,则h′(x)=ex﹣1,
x>0时,h′(x)>0,所以函数hx)在区间(0,+∞)上单调递增,
故在区间(0,+∞)上,hx)>h(0)=0,即在区间(0,+∞)上,exx+1,
所以F′(x)>exx﹣1>0,
所以Fx)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以Fx)>F(0)=0,即Fx)>x
所以gx)<xfx)得证.
(2)由fx)+gx)>ax在区间(0,+∞)上恒成立,
ex+cosx﹣2+sinxax>0在区间(0,+∞)上恒成立,
设φ(x)=ex+cosx﹣2+sinxax,则φ(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,
而φ′(x)=ex﹣sinx+cosxa
mx)=φ′(x),则m′(x)=ex﹣cosx﹣sinx
由(1)知:在区间(0,+∞)上,exx+1>sinx+cosx
m′(x)=ex﹣cosx﹣sinx>0,所以在区间(0,+∞)上函数φ′(x)单调递增,
①当a≤2时,φ′(0)=2﹣a≥0,
故在区间(0,+∞)上函数φ′(x)>0,所以函数φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,故φ(x)>0,即函数fx)+gx)>ax在区间(0,+∞)上恒成立;
②当a>2时,φ′(0)=2﹣a
φ′[lna+2)]=a+2﹣sin[lna+2)]+cos[lna+2)]﹣a

故在区间(0,lna+2))上函数φ′(x)存在零点x0,即φ′(x0)=0,
又在区间(0,+∞)上函数φ′(x)单调递增,
故在区间(0,x0)上函数φ′(x)<φ′(x0)=0,
所以在区间(0,x0)上函数φ(x)单调递减,
由φ(0)=0,所以在区间(0,x0)上φ(x)<φ(0)=0,与题设矛盾.
综上,a的取值范围为(﹣∞,2].
[点评]
本题考查了"函数恒成立问题,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
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169463. (2024•长安区一中•高一上期末) 已知函数
(1)若函数Fx)=fx)﹣ln[(2﹣ax+3a﹣3]有唯一零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意实数,对任意x1x2∈[m,4m﹣1],恒有|fx1)﹣fx2)|≤ln2成立,求正实数a的取值范围.
共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:2
167062. (2023•西安中学•高三上一月) 已知a∈R,函数fx)=log2+a).
(1)当a=5时,解不等式fx)>0;
(2)若关于x的方程fx)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数fx)在区间[tt+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:2
168128. (2024•西安一中•二模) 已知函数
(1)若fx)≥0恒成立,求a的取值范围;
(2)若fx)有两个零点x1x2,证明:x1+x2<0.
共享时间:2024-03-17 难度:2 相似度:2
171182. (2024•西安八十三中•高三上期中) 已知a∈R,函数fx)=log2+a).
(1)当a=5时,解不等式fx)>0;
(2)若关于x的方程fx)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数fx)在区间[tt+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
共享时间:2024-11-28 难度:2 相似度:2
169991. (2023•西工大附中•高一上期末) 已知函数
(1)若函数Fx)=fx)﹣ln[(2﹣ax+3a﹣3]有唯一零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意实数,对任意x1x2∈[m,4m﹣1],恒有|fx1)﹣fx2)|≤ln2成立,求正实数a的取值范围.
共享时间:2023-02-20 难度:2 相似度:2
167626. (2024•师大附中•十模) 已知函数,曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行或重合.
(1)求φ的值;
(2)若对∀x≥0,fx)≤0恒成立,求a的取值范围;
(3)利用下表数据证明:
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
共享时间:2024-07-09 难度:3 相似度:1.67
169720. (2023•师大附中•高一下期末) 已知函数fx)=axa>0,且a≠1).
(1)证明:f(2x1)+f(2x2)≥2fx1+x2);
(2)若fx1)=2,fx2)=3,fx1x2)=8,求a的值;
(3)∀x∈R,恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5
169764. (2023•师大附中•高二下期末) 已知函数
(1)若a=0,求不等式的解集;
(2)若fx)存在两个不同的零点x1x2x1x2),证明:lnx1+lnx2+x1+x2+x1x2>2+a
共享时间:2023-07-24 难度:1 相似度:1.5
169195. (2020•交大附中•三模) 设函数fx)=exax+aa∈R),其中e为自然对数的底数,其图象与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,且x1x2
(1)求实数a的范围;
(2)证明:f'()<0(f'(x)为函数fx)的导函数).
共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:1.5
168968. (2021•交大附中•四模) 已知函数fx)=|x﹣1|+|ax﹣2|.
(1)当a=1时,求fx)的最小值;
(2)当x∈[3,4]时,fx)≤x恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2021-04-20 难度:1 相似度:1.5
168851. (2021•西工大附中•十二模) .已知函数fx)=lnxgx)=x2
(1)若不等式fx)≤ax﹣1对x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的范围;
(2)若正项数列{an}满足a1an+1,数列{an}的前n项和为Sn,求证:+1.
共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:1.5
167855. (2024•西工大附中•模拟) 已知函数fx)=axlnxa,且fx)≥0.
(1)求a
(2)设gx)=xfx),证明:gx)存在唯一的极大值点x0,且gx0)<
共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.5
168344. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=ex
(1)若关于x的不等式fx)≥a(sinx+cosx)在上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,证明:fx)≥sinx+cosx
共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:1.5
168253. (2021•西安中学•五模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)试讨论函数fx)的零点个数;
(2)若函数gx)=lnex﹣1)﹣lnx,且f[gx)]<fx)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.5
168229. (2021•西安中学•四模) 已知函数fx)=(x+1)lnxx+1.
(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x﹣1)fx)≥0.
共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

dygzsxyn

2024-05-09

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2020*西工大*期末
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