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168368. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=(3xaex+cosx+2.
(1)若对∀a∈R,曲线yfx)在点(x0fx0))处的切线恒过点(﹣1,0),求x0的值;
(2)当a≤3时,证明:fx)≥0.
共享时间:2022-04-05 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,
[答案]
(1)x0=0.
(2)证明过程见解答.
[解析]
解:(1)fx)定义域为R,fx)=(3xaex+cosx+2,
所以f′(x)=(3xa)′ex+(ex)′(3xa)+(cosx)′+2′
=3ex+ex(3xa)﹣sinx=(3xa+3)ex﹣sinx
所以kf′(x0)=(3x0a+3)e﹣sinx0
因为切线恒过点(﹣1,0),
所以k
所以(3x0a+3)e﹣sinx0
所以(3x0a+3)ex0+1)﹣(x0+1)sinx0=(3x0ae+cosx0+2,
所以3(x0+1)e+(3x0a)•x0e﹣(x0+1)sinx0﹣cosx0﹣2=0,
因为对∀a∈R,曲线yfx)在点(x0fx0)处的切线恒过点(﹣1,0),
所以(3x0a)•x0e=0,所以x0=0.
(2)证明:要证当a≤3时,fx)≥0,
即证fx)=(3xaex+cosx+2≥(3x﹣3)ex+cosx+2,
需证(3x﹣3)ex+cosx+2≥0恒成立,
所以3x﹣3≥,所以+3x﹣3≥0,
gx)=+3x﹣3,
g′(x)=+3=+3,
g″(x)=≥0,
所以g′(x)在R上单调递增,所以g′(0)=+3=0,
所以gx)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以gx)>g(0)=0=﹣3=0,
所以(3x﹣3)ex+cosx+2≥0恒成立,
所以当a≤3时,fx)≥0成立.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
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169213. (2025•师大附中•高二上期末) 已知函数fx)=﹣1.
(Ⅰ)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅲ)已知函数gx)=3x3+2ax2+1,若∀x1x2∈[1,e],不等式fx1)≤gx2)恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:2
171440. (2024•长安区一中•高二下期中) 已知函数fx)=sinx+x2
(1)求曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:fx)>﹣
共享时间:2024-05-30 难度:2 相似度:2
170771. (2020•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=excosxx
(1)求曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数fx)在区间[0,]上的最大值和最小值.
共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:2
170794. (2020•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=excosxx
(1)求曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数fx)在区间[0,]上的最大值和最小值.
共享时间:2020-02-24 难度:2 相似度:2
167879. (2024•西工大附中•模拟) 已知函数fx)=2sinxax
(Ⅰ)若函数在[0,π]内点A处的切线斜率为﹣aa≠0),求点A的坐标;
(Ⅱ)①当a=1时,求gx)=fx)﹣lnx+1)在上的最小值;
②证明:
共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:2
167810. (2024•西安一中•二模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)若函数fx)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2ey+1=0垂直,求a的值;
(2)当x∈(0,2]时,讨论函数Fx)=fx)﹣xlnx零点的个数.
共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:2
170146. (2023•铁一中学•高二下期末) 已知函数fx)=lnxgx)=ax﹣1)2﹣1.
(1)当时,求函数Fx)=fx)﹣gx)的最大值;
(2)当时,求曲线yfx)与ygx)的公切线方程.
共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:2
167717. (2024•西安一中•五模) 已知函数
(1)若曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线经过原点,求a的值;
(2)设gx)=x2﹣2x,若对任意s∈(0,2],均存在t∈(0,2],使得fs)<gt),求a的取值范围.
共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:2
167671. (2024•西安中学•一模) 已知函数fx)=lnxx+(x﹣2)ex
(1)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若fx)≤b对任意的恒成立,求满足条件的实数b的最小整数值.
共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:2
170684. (2021•铁一中学•高二上期末) 设函数fx)=x+ax2+blnx,曲线yfx)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
(Ⅰ)求ab的值;
(Ⅱ)证明:fx)≤2x﹣2.
共享时间:2021-02-27 难度:2 相似度:2
168552. (2021•西安中学•六模) 已知函数fx)=xlnx﹣1).
(1)设曲线yfx)在x处的切线方程为ygx),求证:fx)≥gx);
(2)若方程fx)=a有两个根x1x2,求证:|x1x2|<2a+e+
共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:2
170574. (2021•西安中学•高二上期末) 函数
(1)求曲线yfx)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求fx)在区间上的最大值.
共享时间:2021-02-20 难度:2 相似度:2
171633. (2024•西安工业大学附中•高二下期中) 已知函数
(1)求fx)的最值;
(2)求曲线yfx)过点(0,2)的切线方程.
共享时间:2024-05-25 难度:2 相似度:2
167106. (2023•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=x2ax+1,gx)=lnx+aa∈R).
(1)若a=1,fx)>gx)在区间(0,t)上恒成立,求实数t的取值范围;
(2)若函数fx)和gx)有公切线,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:2
166469. (2024•铁一中学•高三上三月) 定义:若函数fx)图象上恰好存在相异的两点PQ满足曲线yfx)在PQ处的切线重合,则称PQ为曲线yfx)的“双重切点”,直线PQ为曲线yfx)的“双重切线”.
(1)直线yx是否为曲线fx)=x2﹣2x+2lnx的“双重切线”,请说明理由;
(2)已知函数gx)=,求曲线ygx)的“双重切线”的方程;
(3)已知函数hx)=cosx,直线PQ为曲线yhx)的“双重切线”,记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1k2,…,kn,若k1k2kii=3,4,5,…,n),证明:
共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:2

dygzsxyn

2022-04-05

高中数学 | | 解答题

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2020*西工大*期末
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