已知函数且若求函数的最小值若恒成立求实数的取值范围

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166836. （2024•西安八十五中•一模）已知函数f（x）＝a^2x+a^﹣2x+m（a^x﹣a^﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）若m＝2，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-03-12 难度:1

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[考点]

利用导数研究函数的最值，

[答案]

（1）1；

（2）

．

[解析]

解：（1）若m＝2，则f（x）＝a^2x+a^﹣2x+2（a^x﹣a^﹣x）＝（a^x﹣a^﹣x）²+2+2（a^x﹣a^﹣x），
令a^x﹣a^﹣x＝t，
故原式化为y＝t²+2t+2＝（t+1）²+1，
若a＞1时，可知y＝a^x，y＝﹣a^﹣x在R上单调递增，
可知t＝a^x﹣a^﹣x在R上单调递增，可知t∈（﹣∞，+∞）；
若0＜a＜1时，可知y＝a^x，y＝﹣a^﹣x在R上单调递减，
可知t＝a^x﹣a^﹣x在R上单调递减，可知t∈（﹣∞，+∞）；
综上所述：t＝a^x﹣a^﹣x∈（﹣∞，+∞），
可知当t＝﹣1时，y＝（t+1）²+1（t∈（﹣∞，+∞））取到最小值为1．
（2）因为f（x）＝a^2x+a^﹣2x+m（a^x﹣a^﹣x）＝（a^x﹣a^﹣x）²+2+m（a^x﹣a^﹣x），
设t＝a^x﹣a^﹣x∈（﹣∞，+∞），
由题意得即t²+mt+2≥﹣1恒成立，即t²+mt+3≥0恒成立，
且t∈（﹣∞，+∞），则Δ＝m²﹣12≤0，解得

，
所以实数m的取值范围为

．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的最值，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169195. （2020•交大附中•三模）设函数f（x）＝e^x﹣ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数，其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的范围；
（2）证明：f'（

）＜0（f'（x）为函数f（x）的导函数）．

共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:2

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167855. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）设g（x）＝x•f（x），证明：g（x）存在唯一的极大值点x₀，且g（x₀）＜

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:2

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168851. （2021•西工大附中•十二模）．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x²．
（1）若不等式f（x）≤ax﹣1对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的范围；
（2）若正项数列{a_n}满足a₁＝

，a_n₊₁＝

，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：

+1．

共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2

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168344. （2022•长安区一中•三模）已知函数f（x）＝e^x．
（1）若关于x的不等式f（x）≥a（sinx+cosx）在

上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当

时，证明：f（x）≥sinx+cosx．

共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:2

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168253. （2021•西安中学•五模）已知函数f（x）＝e^x﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）＝ln（e^x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:2

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168229. （2021•西安中学•四模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:2

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168105. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:2

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168082. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:2

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167083. （2023•西安中学•高三上四月）已知函数f（x）＝e^x+ax²﹣e²x．
（1）若曲线在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，1）时，总有f（x）＞xe^x﹣e²x+1，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:2

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167192. （2023•周至四中•一模）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣

．
（1）当a＝2，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤﹣e^﹣ax恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.5

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168460. （2021•西安中学•七模）已知函数f（x）＝

．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的两个零点，求证：

．

共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:1.5

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167062. （2023•西安中学•高三上一月）已知a∈R，函数f（x）＝log₂（

+a）．
（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log₂[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[

，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:1.5

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167040. （2023•西安中学•高三上一月）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有最大值M，且M＞a﹣4，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-10-27 难度:2 相似度:1.5

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168299. （2022•西工大附中•一模）已知函数f（x）＝ax+x²lnx．
（1）证明：当a≤0时，函数f（x）有唯一的极值点；
（2）设a为正整数，若不等式f（x）＜e^x在（0，+∞）内恒成立，求a的最大值．

共享时间:2022-03-12 难度:2 相似度:1.5

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168368. （2022•长安区一中•三模）已知函数f（x）＝（3x﹣a）e^x+cosx+2．
（1）若对∀a∈R，曲线y＝f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线恒过点（﹣1，0），求x₀的值；
（2）当a≤3时，证明：f（x）≥0．

共享时间:2022-04-05 难度:2 相似度:1.5

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qna@dyw.com

2024-03-12

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