已知函数试讨论函数的零点个数若函数且在上恒成立求实数的取值范围

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168253. （2021•西安中学•五模）已知函数f（x）＝e^x﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）＝ln（e^x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-05-01 难度:1

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[考点]

利用导数研究函数的最值，

[答案]

（1）当a≤0或a＝1时，函数f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，函数f（x）有两个零点；（2）a∈（﹣∞，1]．

[解析]

解：（1）根据题意，可得f'（x）＝e^x﹣a，则有：
①若a≤0，则f'（x）＝e^x﹣a＞0，此时可得函数f（x）在R上单调递增，
又因为f（0）＝0，所以函数只有一个零点；
②若a＞0，令f'（x）＝0，则有x＝lna，
所以f'（x）＞0⇒x＞lna，此时函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增；
f'（x）＜0⇒x＜lna，此时函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；即得f（x）_min＝f（lna）＝a﹣1﹣alna，
则有：（i）当lna＝0⇒a＝1时，则f（x）≥0，此时函数f（x）只有一个零点；
（ii）当lna≠0时，即a≠1时，则f（lna）＜f（0）＝0，
又因为x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，
根据零点存在定理可得，此时函数f（x）在R上有两个零点．
综上可得，当a≤0或a＝1时，函数f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，函数f（x）有两个零点．
（2）由（1）可知，当a≤0或a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则有f[g（x）]＜f（x）⇔g（x）＜x⇔ln（e^x﹣1）﹣lnx＜x⇔

在（0，+∞）上恒成立，
又因为x＞0时，

，所以

⇔

⇔e^x﹣1＜xe^x⇔xe^x﹣e^x+1＞0
令H（x）＝xe^x﹣e^x+1（x＞0）
∵H'（x）＝xe^x＞0在（0，+∞）上恒成立，即得函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，
故有H（x）＞H（0）＝0，即得f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；
当0＜a＜1时，由（1）得，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则由上结论可知，f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；
当a＞1时，由（1）得，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
此时当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna⇔f[g（x）]＞f（x），不合题意，
综上可得，a≤1，即a∈（﹣∞，1]．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的最值，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168851. （2021•西工大附中•十二模）．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x²．
（1）若不等式f（x）≤ax﹣1对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的范围；
（2）若正项数列{a_n}满足a₁＝

，a_n₊₁＝

，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：

+1．

共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2

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168344. （2022•长安区一中•三模）已知函数f（x）＝e^x．
（1）若关于x的不等式f（x）≥a（sinx+cosx）在

上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当

时，证明：f（x）≥sinx+cosx．

共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:2

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168105. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:2

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167855. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）设g（x）＝x•f（x），证明：g（x）存在唯一的极大值点x₀，且g（x₀）＜

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:2

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168229. （2021•西安中学•四模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:2

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169764. （2023•师大附中•高二下期末）已知函数

．
（1）若a＝0，求不等式

的解集；
（2）若f（x）存在两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：lnx₁+lnx₂+x₁+x₂+x₁x₂＞2+a．

共享时间:2023-07-24 难度:1 相似度:2

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168082. （2023•西工大附中•十三模）已知函数f（x）＝e^x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．
（Ⅰ）设g（x）＝e^﹣xf′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x₀，函数f′（x）的极小值点为x₁，当a＞2时，求证：x₀＞x₁．

共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:2

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169375. （2024•师大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝e^﹣x﹣x﹣alnx．
（1）当a＝﹣1时，证明：f（x）＞

﹣1有解；
（2）若对任意：x∈（1，+∞），不等式f（x）≤x^a恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:2

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167083. （2023•西安中学•高三上四月）已知函数f（x）＝e^x+ax²﹣e²x．
（1）若曲线在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，1）时，总有f（x）＞xe^x﹣e²x+1，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:2

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169195. （2020•交大附中•三模）设函数f（x）＝e^x﹣ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数，其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的范围；
（2）证明：f'（

）＜0（f'（x）为函数f（x）的导函数）．

共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:2

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166836. （2024•西安八十五中•一模）已知函数f（x）＝a^2x+a^﹣2x+m（a^x﹣a^﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）若m＝2，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-03-12 难度:1 相似度:2

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169463. （2024•长安区一中•高一上期末）已知函数

．
（1）若函数F（x）＝f（x）﹣ln[（2﹣a）x+3a﹣3]有唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意实数

，对任意x₁，x₂∈[m，4m﹣1]，恒有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1.5

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169528. （2024•铁一中学•高三上期末）已知函数f（x）＝ax﹣

﹣（a+1）lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a＝﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[

，e]上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞

，判断函数g（x）＝x[f（x）+a+1]的零点的个数．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1.5

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170013. （2023•西工大附中•高三上期末）已知函数f（x）＝xlnx﹣2x．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求函数g（x）＝f（x）+x﹣e的单调区间；
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣mx在x∈[1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1.5

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169213. （2025•师大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝

﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数g（x）＝3x³+2ax²+1，若∀x₁，x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1.5

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2021-05-01

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2021年陕西省西安中学高考数学五模试卷（理科）

更新:2021-05-01 04:05浏览量:5

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