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167855. (2024•西工大附中•模拟) 已知函数fx)=axlnxa,且fx)≥0.
(1)求a
(2)设gx)=xfx),证明:gx)存在唯一的极大值点x0,且gx0)<
共享时间:2024-03-05 难度:1
[考点]
利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)a=1.
(2)见证明过程.
[解析]
解:(1)函数fx)=axlnxax∈(0,+∞),f(1)=0,
f′(x)=a
a≤0时,f′(x)≤0,函数fx)在x∈(0,+∞)上单调递减,
f(1)=0,∴x>1时,fx)<0,不满足题意,舍去.
a>0时,f′(x)=
可得函数fx)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
x时,函数fx)取得极小值,而f(1)=0,
因此必然有=1,解得a=1.
(2)证明:函数fx)=xlnx﹣1,
gx)=xfx)=x2xlnxx
g′(x)=2xlnx﹣2=hx),h(1)=0,
h′(x)=2﹣
可得函数hx)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
x→0+时,hx)→+∞;x时,函数hx)取得极小值,h)=﹣1+ln2<0;x→+∞时,hx)→+∞.
∴∃x0∈(0,),使得hx0)=0,即lnx0=2x0﹣2.
且函数gx)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
x0为函数gx)的唯一极大值点,
gx0)=x0(2x0﹣2)﹣x0x0(1﹣x0)<
因此gx)存在唯一的极大值点x0,且gx0)<
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的最值,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
169195. (2020•交大附中•三模) 设函数fx)=exax+aa∈R),其中e为自然对数的底数,其图象与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,且x1x2
(1)求实数a的范围;
(2)证明:f'()<0(f'(x)为函数fx)的导函数).
共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:2
168851. (2021•西工大附中•十二模) .已知函数fx)=lnxgx)=x2
(1)若不等式fx)≤ax﹣1对x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的范围;
(2)若正项数列{an}满足a1an+1,数列{an}的前n项和为Sn,求证:+1.
共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2
168344. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=ex
(1)若关于x的不等式fx)≥a(sinx+cosx)在上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,证明:fx)≥sinx+cosx
共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:2
168253. (2021•西安中学•五模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)试讨论函数fx)的零点个数;
(2)若函数gx)=lnex﹣1)﹣lnx,且f[gx)]<fx)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:2
168229. (2021•西安中学•四模) 已知函数fx)=(x+1)lnxx+1.
(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x﹣1)fx)≥0.
共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:2
168105. (2023•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=ex(1+alnx),其中a>0,设f′(x)为fx)导函数.
(Ⅰ)设gx)=exf′(x),若gx)≥2恒成立,求a的范围;
(Ⅱ)设函数fx)的零点为x0,函数f′(x)的极小值点为x1,当a>2时,求证:x0x1
共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:2
168082. (2023•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=ex(1+alnx),其中a>0,设f′(x)为fx)导函数.
(Ⅰ)设gx)=exf′(x),若gx)≥2恒成立,求a的范围;
(Ⅱ)设函数fx)的零点为x0,函数f′(x)的极小值点为x1,当a>2时,求证:x0x1
共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:2
166836. (2024•西安八十五中•一模) 已知函数fx)=a2x+a﹣2x+maxax)(a>0且a≠1).
(1)若m=2,求函数fx)的最小值;
(2)若fx)≥﹣1恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-03-12 难度:1 相似度:2
167083. (2023•西安中学•高三上四月) 已知函数fx)=ex+ax2e2x
(1)若曲线在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数fx)的单调区间;
(2)若x∈(0,1)时,总有fx)>xexe2x+1,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:2
167192. (2023•周至四中•一模) 已知函数fx)=lnxax
(1)当a=2,求fx)的极值;
(2)若fx)≤﹣eax恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.5
168460. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:1.5
167062. (2023•西安中学•高三上一月) 已知a∈R,函数fx)=log2+a).
(1)当a=5时,解不等式fx)>0;
(2)若关于x的方程fx)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数fx)在区间[tt+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:1.5
167040. (2023•西安中学•高三上一月) 已知函数fx)=lnxax﹣2(a≠0).
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若函数fx)有最大值M,且Ma﹣4,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-10-27 难度:2 相似度:1.5
168299. (2022•西工大附中•一模) 已知函数fx)=ax+x2lnx
(1)证明:当a≤0时,函数fx)有唯一的极值点;
(2)设a为正整数,若不等式fx)<ex在(0,+∞)内恒成立,求a的最大值.
共享时间:2022-03-12 难度:2 相似度:1.5
168368. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=(3xaex+cosx+2.
(1)若对∀a∈R,曲线yfx)在点(x0fx0))处的切线恒过点(﹣1,0),求x0的值;
(2)当a≤3时,证明:fx)≥0.
共享时间:2022-04-05 难度:2 相似度:1.5

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2024-03-05

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2020*西工大*期末
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