如图一元二次方程的二根是抛物线与轴的两个交点的横坐标且此抛物线过点求此二次函数的解析式写出不等式的解集设此抛物线的顶点为对称轴与线段相交于点求点和点的坐标在轴上有一动点当取得最小值时求点的坐标

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65. （2019•铜仁市•期中）如图，一元二次方程x²+2x﹣3＝0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出不等式ax²+bx+c≥0的解集；
（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4

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[考点]

根与系数的关系（韦达定理），抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组），轴对称-最短路线问题，

[答案]

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[解析]

解：（1）一元二次方程x²+2x﹣3＝0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）为：
x₁＝﹣3，x₂＝1．
∴抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．
设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵抛物线过点A（3，6）．
∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a＝

．
∴二次函数的解析式为y＝

（x+3）（x﹣1）＝

x²+x﹣

．
（2）根据图象可知：
不等式ax²+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；
（3）由y＝

x²+x﹣

．
∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．
设直线AC解析式为y＝kx+b，
将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：
k＝1，b＝3，
直线AC解析式为y＝x+3．
将x＝﹣1代入，得y＝2．
∴Q（﹣1，2）．
（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），

连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．
设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，
将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：
k＝﹣2，b＝0．
∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．
令x＝0，则y＝0．
∴M（0，0）．

[点评]

本题考查了"根与系数的关系（韦达定理）待定系数法求二次函数抛物线与x轴的交点二次函数与不等式（组轴对称-最短路线问题 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.25

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190143. （2025•莲湖区•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.25

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198948. （2022•西安三中•八上期中） $德优题库$ 如图，圆柱形玻璃杯高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，试求蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是多少．

共享时间:2022-11-28 难度:5 相似度:1.25

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198132. （2023•西安一中•八上期中） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2，-1），B（-4，-3），C（2，-2）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；
（2）求△A'B'C'的面积；
（3）若点P在x轴上，求PA+PC的最小值．

共享时间:2023-11-19 难度:5 相似度:1.25

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197984. （2024•交大附中•九上期中）求方程x²-7x-3=0的两根之和与两根之积．

共享时间:2024-11-10 难度:1 相似度:1.25

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174201. （2024•铁一中学•八上一月）数形结合是重要的数学思想，借助图形，求解

的最小值为　．

共享时间:2024-10-17 难度:5 相似度:1.25

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1.25

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195791. （2025•阎良区•九上期末）已知二次函数y=-x²+2mx+4-m²（m为常数），求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.25

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190635. （2025•二十六中•九上期末）已知二次函数y=x²-2x+m-2的图象与x轴有交点，求非负整数m的值．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.25

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67. （2019•自贡市•期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx﹣5与x轴交于A（﹣1.0）．B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求地物线的解析式；
（2）在地物线的对称轴上找一点M．使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；
（3）在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1

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175402. （2024•七十中•九上一月）已知关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x₁，x₂，且

，求m的值．

共享时间:2024-10-15 难度:2 相似度:0.75

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175619. （2024•理工大附中•九上一月）已知关于x的一元二次方程x²-mx+m-3=0．
（1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解；
（2）如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且2x₁x₂+x₁+x₂≥15，求m的取值范围．

共享时间:2024-10-13 难度:2 相似度:0.75

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179627. （2024•西工大附中•九上期中）已知关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边

，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．

共享时间:2024-11-22 难度:2 相似度:0.75

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179631. （2024•西工大附中•九上期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax²﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ABD的面积是△ABC的面积的

倍，求∠BAD．

共享时间:2024-11-22 难度:2 相似度:0.75

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181077. （2023•西安市航天城第一中学•九上二月）已知关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两个根分别为x₁、x₂，且满足（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:0.75

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亦世凡华

2021-01-06

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二次函数压轴题型采集卷

更新:2020-12-28 11:10浏览量:2345

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