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67. (2019•自贡市•期末) 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1.0).B(5,0)两点,与y轴交于点C
(1)求地物线的解析式;
(2)在地物线的对称轴上找一点M.使得MA+MC最小,请求出点M的坐标;
(3)在直线BC下方抛物线上是否存在点P,使得△PBC的面积最大?若存在.请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                                   
共享时间:2021-01-06 难度:4
[考点]
抛物线与x轴的交点,二次函数的几何最值问题,二次函数的应用题,轴对称-最短路线问题,
[答案]
答案见解析
[解析]
解:(1)把A(﹣1.0).B(5,0)代入抛物线yax2+bx﹣5得,

解得,a=1,b=﹣4,
∴抛物线的关系式为yx2﹣4x﹣5,

(2)当x=0时,y=﹣5,
∴点C(0,﹣5)
设直线BC的关系式为ykx+b
把点BC坐标代入得,
解得,k=1,b=﹣5,
∴直线BC的关系式为yx﹣5,
∵抛物线的关系式为yx2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,
∴对称轴为直线x=2,
由对称可得,直线BC与对称轴x=2交点就是所求的点M
x=2时,y=2﹣5=﹣3,
M(2,﹣3)时,MA+MC最小;

(3)向下平移直线BC,使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P时,此时点PBC的距离最大,因此△PBC的面积最大,
设将直线BC向下平移后的直线的关系式为yx﹣5﹣m
则方程x2﹣4x﹣5=x﹣5﹣m,有两个相等的实数根,
x2﹣5x+m=0有两个相等的实数根,
m
m时,方程x2﹣5x+=0的解为x
x代入抛物线的关系式得,y﹣4×﹣5=﹣
P,﹣),
答:在直线BC下方批物线上存在点P,使得△PBC的面积最大,此时点P的坐标为(,﹣).
[点评]
本题考查了"二次函数的几何最值问题   待定系数法求二次函数   抛物线与x轴的交点   二次函数的应用题   轴对称-最短路线问题   ",属于"综合题",熟悉知识点是解题的关键
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76. (2020•陕西省•同步) 在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点Px轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.75
62. (2017•北京市•真题) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2﹣4x+3与x轴交于点AB(点A在点B的左侧),与y轴交于点C
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点Px1y1),Qx2y2),与直线BC交于点Nx3y3),若x1x2x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.
共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.25
185154. (2025•滨河中学•九下期中) 某校羽毛球队为了提高运动员成绩,训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人.如图2,发球机器人固定站在地面的点O处,其弹射出口记为点A,所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状,设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为x(单位:米),羽毛球到地面的高度为y(单位:米),已知当点A的高度为1.25米时,羽毛球的最高点离地面的距离为2.25米,羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为2米(发球机器人的半径忽略不计).
(1)求yx的函数解析式.
(2)调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点.为了训练运动员的后场能力,需要使羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1米.若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,则发球机器人的弹射出口高度OA应调整为多少米?

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.25
190443. (2025•铁一中学•九上期末) 某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示),跨度AB为4米,桥墩AE与BF的高为0.88米,拱桥最高点到水面距离为2.88米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)公园欲开设游船项目,其中豪华游船长为3.3米,宽为2.7米,露出水面高度为1.88米.为安全起见,游船经过拱桥时,游船顶部和拱桥至少有0.2米的安全距离.公园要在水面上的M,N两处设置警戒线.并且ME=NF,要求游船能从M,N两点之间安全通过,则M处距桥墩的距离ME至少为多少米?(结果保留根号)
德优题库
共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.25
190298. (2025•高新区•九上期末) 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中,中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官.如图,某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛,身体(看成一点)在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线,已知跳板AB长为2米,跳板距离水面CD的高BC为3米,跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米,现以CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)当k时,求这条抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,求运动员落水点与点C的距离;
(3)图中米,CF=6米,若跳水运动员在区域EF内(含点EF)入水时才能达到训练要求,求k的取值范围.
共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.25
190296. (2025•高新区•九上期末) 某种商品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出40件.经市场调查发现如下信息:
信息一:每降价1元,每星期可多卖出10件;
信息二:由于货源紧缺,每星期最多能卖 90件.
设每件商品的售价为x元,每星期可获得的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每星期可获得的销售利润最大,最大利润是多少?
共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.25
190143. (2025•莲湖区•九上期末) 德优题库如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点,当△QBC的面积最大时,求此时点Q的坐标及△QBC的面积.
共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.25
190065. (2025•西咸新区•九上期末) 小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
德优题库
共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:1.25
189967. (2025•新城区•九上期末) 德优题库某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)请求出在距离水池中心5米处,水柱距地面的高度为多少米?
(3)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.25
189839. (2025•高新一中•九上期末) 德优题库为有效地应对高楼火灾,某消防中队进行消防技能比赛.如图,在一个废弃高楼距地面15m的点A和18.2m的点B处,各设置了一个火源,消防员来到火源正前方,水枪喷出的水流看作抛物线的一部分,第一次灭火时站在水平地面的点C处,水流从点C射出恰好到达点A处,且水流的最大高度为20m,水流的最高点到高楼的水平距离为5m,建立如图所示的平面直角坐标系,水流的高度y(m)与出水点到高楼的水平距离x(m)之间满足二次函数关系.
(1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式;
(2)待A处火熄灭后,消防员前进2m到点D(水流从点D射出)处进行第二次灭火,若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同,判断水流是否能到达点B处,并说明理由.
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.25
181540. (2023•曲江一中•九上一月) 某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件,经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件.将销售价定为多少元,才能使每天所获销售利润最大?
共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25
190516. (2025•碑林区•九上期末) 由于猪肉市场的供不应求,近期猪肉价格居高不下,云腿猪肉店以每千克30元的成本购进猪肉销售,然后以每千克50元的价格售出,每天可售出100千克.在此基础上,若每千克猪肉每降价1元,则每天可多售出10千克.当每千克猪肉降价之后的售价为多少元时,每天销售猪肉获得的利润最大?最大利润为多少元?
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.25
181153. (2023•爱知中学•月考) 有一种工艺品很受大家喜欢,某工厂原来有6条生产线,为了加快生产,工厂准备改造生产线,如果增加x条生产线后,每条生产线可以生产y个工艺品,经过市场调查发现:y与x满足的关系式为y=-10x+100.如果设该厂每天可以生产的工艺品w个.
(1)请写出w与x的函数关系式;
(2)请求出该工厂增加多少条生产线时,每天生产的工艺品的数量最多,最多为多少个?
共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:1.25
181133. (2024•爱知中学•月考) 某市为了创建国家卫生城市,给市民营造干净卫生的环境,每天需要洒水车为绿化带浇水,如图:洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米.可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFGH点是下边缘抛物线的最高点,下边缘喷水的最大射程OB=1.5米,上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米,高出喷水口H的距离为0.5米.
(1)请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式;(不写自变量的取值范围)
(2)此时,距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过,试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程.
共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.25
181107. (2024•爱知中学•九下一月) 某公园的人工湖里安装一个喷泉,在湖中心竖直安装了一根高为3米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离喷水管3米.以喷水管与湖面的交点为原点,建立如图的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)现公园准备通过只调节喷头露出湖面的高度,使得游船能从抛物线水柱下方正中间通过.为避免游客被喷泉淋湿,要求游船从抛物线水柱下方正中间通过时,游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于1.5米,已知游船顶棚宽度为1米,顶棚到湖面的高度为2.5米,那么公园应将喷头至少向上移动多少米才能符合要求?

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.25

亦世凡华

2021-01-06

初中数学 | | 解答题

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