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23819. (2021•益新中学•五模) 问题发现:
(1)正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置,AB=4,AE=2.5,则  
问题探究:
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在矩形的内部,∠BPC=135°,求AP长的最小值.
问题拓展:
(3)如图③,在四边形ABCD中,连接对角线ACBD,已知AB=6,ACCD,∠ACD=90°,∠ACB=45°,则对角线BD是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2021-06-18 难度:5
[考点]
相似三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,四边形综合题,平行四边形与线段最值问题,圆周角定理,定弦定角,费马点问题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)如图①,连接ACAFDGCF

在正方形ABCD和正方形AEFG中,AB=4,AE=2.5,
ACABAFAEAGAE=2.5,ADAB=4,

又∵∠DAG=∠DAC﹣∠GAC=45°﹣∠GAC,∠CAF=∠GAF﹣∠GAC=45°﹣∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴△DGA∽△CFA

故答案为
(2)如图②,以BC为斜边作等腰直角三角形BOC

O为圆心BO为半径画圆,则∠BPC作为圆周角刚好是135°,
P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上,
连接AO交弧BC于点P,此时AP最小,
OE垂直AB延长线于点E
∵△BOC为等腰直角三角形,BC=4,
OBOCBC×4=2,∠OBC=45°,
∴∠OBE=90°﹣∠OBC=90°﹣45°=45°,
又∵OEAE
∴△BEO为等腰直角三角形,
BEOEOB×2=2,
又∵AB=3,
AEAB+BE=3+2=5,
AO
OPOB=2
APAOOP﹣2
AP的最小值为﹣2
(3)存在,如图3,以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB,连接CE

则∠EAB=45°,
ACCD,∠ACD=90°,
∴∠DAC=45°,
,∠DAB=∠CAE
∴△DAB∽△CAE

BDCE
∴当CE最大时,BD取最大值,
AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB,以O为圆心OA为半径画圆,
∵∠AOB=90°,∠ACB=45°,
∴点C在优弧AB上,
由图知当COE延长线C'位置时C'E有最大值,
此时C'EOE+OC',
AB=6,△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴四边形AOBE为正方形,
OEAB=6,OC'=OAAB=3
CE的最大值为6+3
BDCE
BD的最大值为×(6+3)=6+6.
[点评]
本题考查了"相似三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,四边形综合题,平行四边形与线段最值问题,圆周角定理,费马点问题",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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212448. (2025•交大附中•三模) 德优题库如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.
共享时间:2025-04-13 难度:2 相似度:1.29
26025. (2024•滨河中学•四模) 如图,AB是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线交于点D,点E是⊙O上一点,=,延长AE与DC的延长线交于点F,AG、BG是⊙O的弦,AG=AE.
(1)求证:AF⊥DF;
(2)若AG=6,BG=8,求线段DF的长.
德优题库
共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.29
19254. (2016•西工大附中•模拟) 问题探究:三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形.
(1)如图1,△ABC中,ABAC,正方形MNFE的顶点MEBC上,顶点NAB上,请以点B为位似中心,作△ABC的内接正方形.(不写作法).
(2)如图2,△ABC中,BC=12,∠B=45°,ADBC于点DAD=8,请以点D为位似中心,作△ABC的内接正方形,并求出所作正方形的面积(不写作法).
问题解决
(3)如图3,将(2)中的△ABC翻折得到四边形ABEC,对角线AEBC相交于点D,请以点D为位似中心作正方形MNPQ,使得点MNPQ在四边形ABEC的各边上.
要求:①写出作法,证明四边形MNPQ是正方形;
②求出正方形MNPQ的面积.
共享时间:2016-06-06 难度:5 相似度:1.18
23874. (2020•益新中学•九上期末) 问题提出:如图,在锐角△ABC中,如何作一个正方形DEFG,使D,E落在BC边上,F,G分别落在AC,AB边上?
勤奋小组同学给出了如下作法:①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK;②连接BJ,并延长交AC于点F;③过点F作EF⊥BC于点E;④过F作FG∥BC,交AB于点G;⑤过点G作GD⊥BC于点D,则四边形DEFG即为所求作的正方形.
受勤奋小组同学的启发,创新小组同学认为可以在锐角△ABC中,作出长与宽的比为2:1的矩形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.
(1)你认为勤奋小组同学的作法正确吗?请说明理由;
(2)请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中,作出所有满足长与宽的比为2:1的矩形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.(在备用图中完成,不写作法,保留作图痕迹)
解决问题:
(3)在(2)的条件下,已知△ABC的面积为36,BC=12,求出矩形DEFG的面积.德优题库
共享时间:2021-03-28 难度:5 相似度:1.18
185226. (2025•西工大附中•八下期中) 问题发现
(1)如图①,已知边长为4的等边△ABCAE是△ABC的中线,点DAC的中点,点PAE上一动点,则PC+PD的最小值为        
问题探究
(2)如图②,已知在四边形ABCD中,ABAD,∠BAD=90°,∠BCD=135°,连接AC,且CD=20,AC=26,求BC的长;
问题解决
(3)某公园规划一个四边形花园ABCD,如图③,其面积为平方米,设计一条观赏路BD将花园分成两部分,分别种植不同的花卉,根据设计要求,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,由于地形需要,计划在其四周围上护栏,公园已有长度为(80﹣60)米的护栏恰好全部用于ABBC处,ADCD两处需购买新的护栏,若护栏20元/米,为了节约成本,求公园购买护栏的最少费用.(观赏路的宽度和护栏的厚度忽略不计)

共享时间:2025-05-18 难度:1 相似度:1.14
181324. (2024•未央区•七下二月) 问题提出
(1)如图1,在△ABC中,已知BC=6,P为边BC上一动点,S△ABC=6,则AP的最小值为        
问题探究
(2)小哲同学喜欢探究生活中的数学问题,学习完轴对称的知识以后,他将一张正方形纸片沿着对角线对折,根据轴对称图形的定义来判断,得到结论:正方形是轴对称图形,对角线所在的直线是正方形的一条对称轴.他尝试利用这一结论解决问题;如图2,正方形ABCD的边长为4,E为DC的中点,P为对角线BD上的动点,F为BC上的动点,请求出PE+PF的最小值.请你解决小哲提出的问题.
问题解决
(3)如图3,这是某公园的一块四边形市民健身场地ABCD,公园管理部门在△ACD内规划设置体育锻炼区域,在△ABC内设置合唱团训练区域,在BD处修建养生小路,要求BD尽可能的长,其中AB=10m,BC=16m,AD=AC,∠CAD=60°.已知铺设小路 BD的费用是每米1600元,请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱.
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共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.14
181186. (2023•爱知中学•九上四月) (1)如图1,∠ABC=90°,分别过AC两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为EFAE=4,BE=2,BF=3,求CF的长度为                   
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,点EFM分别在ABBCAD上,∠EMF=90°,AM=2,当BE+BF=9时,求四边形MEBF的面积.
(3)如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=20,点EF分别在边ABBC上,∠CEF=α且,若BF=8,求BE的长度.
共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.14
181160. (2023•爱知中学•月考) 【问题探究】
(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,点E、F分别为边AD、BC上的点,且AE=1,BF=2,P为边AB上一动点,连接EP、PF,则EP+PF的最小值为        
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E、F分别在边AD和BC上,连接AC,EF⊥AC于M,求EF的长.
【问题解决】
(3)某市进行绿化改造,美化生态环境.如图3,将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园.已知:在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,tan∠CDA=2,BC=60米,AB=110米,在公园的AD边上有一个出口M,经测量MD=2MA,为了方便市民,现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E,然后铺设观景道BE、EF、FM,并且EF⊥BM,若要使这三条观景道的距离和最小(即BE+EF+FM最小),请求出休息亭F距离点A多远?并求出BE+EF+FM的最小值.(小路面积忽略不计,结果保留根号)
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共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:1.14
181134. (2024•爱知中学•月考) 问题提出:
(1)如图1,在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球.已知球到灯和到地面的距离相等,且球的直径是40cmAB=40cm,则这个球在地面上的影子的面积是              .(结果保留π)
问题探究:
(2)将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子(图中所有点、线都在同一平面内,点FGBC边上),若AC=4,求FG的最小值,并证明你的结论.(结果保留根号)
问题解决:
(3)某地质勘察队,为了进行资源勘测,建立了一个四边形野外勘察基地ABCD,如图3所示,现在此勘察基地铺设了两条道路,DEAC,并使得∠AFE=∠ADCCABA,现测得米,CFAB=600米,,根据工作需要在点A处安装了一个可转动的照明灯,照明灯的两边缘光线夹角不变且与BC分别交于点GH(受实际因素影响点GH始终在BC边上),经过测量,∠B与∠GAH恰好互余,为了尽快完成勘察工作,勘察队需要夜间工作,那么夜间工作时,整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值?若存在,请求出最大面积是多少,如果不存在,请说明理由.
共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.14
180297. (2023•逸翠园中学•八上二月) 若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分,那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”,其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”.
问题探究:

(1)如图①,在△ABC中,ABAC,画出经过点A的△ABC的“和谐线段”;
(2)如图②,在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,请求出分别经过A点,C点的△ABC的两条“和谐线段”的长;
问题解决:
(3)如图③,四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图.其中∠B=∠D=90°,∠A=120°,AB=2,CD=10,现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN(小道的宽度不计),入口MBC上,出口NCD上,使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”,在道路一侧△MNC区域规划为公园,为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形,请通过计算说明设计师的想法能否实现?若可以,请确定点M的位置(即求CM的长).

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:1.14
180248. (2023•航天中学•八上二月) (1)如图1,在正方形ABCD中,EFGH分别为ABADCDBC边上的动点,连接EGHF相交于点P.且∠EPH=∠A
①填空:     
②如图2,当四边形ABCD为长方形,AB=4,BC=6时,求的值.
(2)如图3,这是某城市中央公园的设计示意图,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=0.8kmAD=1km.公园设计师计划在公园内修建两条观光小路EGFH(小路宽度不计,点EFGH分别在ABADCDBC边上),根据实际需要,∠EPH=∠A.若先修好的观光小路EG长为1.1km,则另一条观光小路FH多长?

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.14
179977. (2024•航天中学•七下期中) 【问题背景】
(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:①线段AD,BE之间的数量关系为       ;②∠AEB的度数为       
【问题探索】
(2)如图2,△ACB为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点D为边AB上一点,以CD为边作等腰直角三角形DCE,且∠DCE=90°,连接BE,若AD=2,BD=5,求△BDE的面积;
【问题解决】
(3)为了开展劳动实践教育,培养科学素养,实现多维学科融合.某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC,经测量:∠ABC=90°,AB=BC,∠BDC=45°.连接AD,将基地分成两部分种植不同的植物,若△ACD的面积为8平方米,则线段CD的长度为多少?
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.14
179906. (2024•爱知中学•八下期中) 综合应用
综合与实践数学活动课上,王老师给出了一个问题:
(1)如图1,将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°,得到Rt△ABC′,点B′恰好落在斜边AC上,连接AA′,则∠AAB′=             

(2)如图2,在△ABC中,ABAC,∠BAC=90°,点DEBC边上,BD=2,CE=3,且∠DAE=45°,请你求出DE的长度.
(3)如图3,在四边形ABCD中,ABADBC=6,CD=10,CF=5,∠BAD=∠BCD=90°,∠EAF=45°,求线段BE的长.
共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.14
179882. (2024•爱知中学•七下期中) 阅读下面一代文字,结合文字完成问题.
数学家华罗庚说:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”“数”与“形”反映了事物的两方面.数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来,使复杂问题简单化.抽象问题具体化.
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观察上面拼图过程,计算图形面积写出相应等式        
(2)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,点B,C,D在同一直线上,BD=a,翻折△DEC,得到如图2,点B,D,C在同一直线上,此时BD=b,计算梯形ABDE的面积S(S用含a,b的代数式表示)
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(3)如图3,某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花,内部直角梯形里铺草坪,直角梯形.ABDE中∠ABC=90°,△ABC≌△CDE,若外部四个半圆中鲜花种植总面积为25πa,△ABC中草坪铺设面积为24a,假设鲜花种植和草坪铺设密度不变,请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少?小明在计算中发现AC2与AB2,BC2间存在某种数量关系,请计算AC2,写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系.
共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.14
179834. (2025•西安八十三中•八下期中) 【小试牛刀】
(1)如图1,在四边形ABCD中,ABBC,∠ABC=60°,∠D=30°,∠BAD+∠BCD         
【深入探究】
(2)在(1)的条件下,若CD=2,连接BD,求出BD的长度;
爱思考的小李同学将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBD′,将BD进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算.
【学以致用】
(3)如图2,已知在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=30°,ABAD,连接AC,线段AC的长是否存在最小值,若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.

 
共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.14

yxzx2021

2021-06-18

初中数学 | | 解答题

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