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首页 > 试题列表 > 单题解析
23819. （2021•益新中学•五模） 问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝　　．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
共享时间:2021-06-18 难度:5
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[考点]
相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，四边形综合题，平行四边形与线段最值问题，圆周角定理，定弦定角，费马点问题，
[答案]
答案详见解析
[解析]
解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，

在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝4，AE＝2.5，
∴AC＝AB，AF＝AE，AG＝AE＝2.5，AD＝AB＝4，
∴＝，
又∵∠DAG＝∠DAC﹣∠GAC＝45°﹣∠GAC，∠CAF＝∠GAF﹣∠GAC＝45°﹣∠GAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴＝＝＝，
故答案为；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，

以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝BC＝×4＝2，∠OBC＝45°，
∴∠OBE＝90°﹣∠OBC＝90°﹣45°＝45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，
∴BE＝OE＝OB＝×2＝2，
又∵AB＝3，
∴AE＝AB+BE＝3+2＝5，
∴AO＝＝＝，
∵OP＝OB＝2，
∴AP＝AO﹣OP＝﹣2，
即AP的最小值为﹣2；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，

则∠EAB＝45°，＝，
∵AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝45°，＝，
∴＝，∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB∽△CAE，
∴＝＝，
∴BD＝CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，
以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB＝90°，∠ACB＝45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E＝OE+OC'，
∵AB＝6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE＝AB＝6，OC'＝OA＝AB＝3，
∴CE的最大值为6+3，
∵BD＝CE，
∴BD的最大值为×（6+3）＝6+6．
[点评]
本题考查了"相似三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,四边形综合题,平行四边形与线段最值问题,圆周角定理,费马点问题"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。
转载声明：
本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！ ！版权申诉
882. （2013•陕西省•真题） 问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

 
共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.14
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811. （2015•陕西省•真题） 如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　    　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.14
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1052. （2019•陕西省•真题） 问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.14
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6220. （2017•西工大附中•一模） 问题提出
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于　       　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　    　（用含a，b的式子表示）．
问题探究
（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
问题解决：
（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
②如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
共享时间:2017-02-28 难度:5 相似度:0.81
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650. （2019•陕西省•副题） 如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
                                                                                                                                  
共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.79
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878. （2013•陕西省•真题） 如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．
                                                                                             
共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:0.79
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2770. （2020•益新中学•模拟） 如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝，求OA的长．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:0.79
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1092. （2020•陕西省•真题） 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
                                                                                                                           
共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:0.69
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1050. （2019•陕西省•真题） 如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
                                                                                                                              
共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:0.64
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6243. （2016•铁一中学•真题） ）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC＝∠CBD；
（2）BC2＝AB•BD．
                                                                                                                           
共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:0.64
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350. （2012•红星高中•真题） 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．
共享时间:2020-07-03 难度:4 相似度:0.64
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780. （2019•陕西省•暑假） 如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.64
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846. （2014•陕西省•真题） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求AC的长．

 
共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:0.64
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4689. （2018•陕西省•模拟） （1）如图1，四边形ABCD是矩形，试在AD边上找一点P，使△BCP为等腰三角形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝12，点E在AB边上，BE＝3，点P是矩形ABCD内或边上一点，且PE＝5，点Q是CD边上一点，求PQ的最值；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，BC＝6，DC＝4，点E在AB边上，BE＝2，点P是四边形ABCD内或边上一点，且PE＝2，求四边形PADC面积的最值．
共享时间:2018-06-25 难度:5 相似度:0.62
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6320. （2017•西工大附中•模拟） 问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　 　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
共享时间:2017-06-26 难度:5 相似度:0.58
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yxzx2021

2021-06-18

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