如图在四棱锥中平面底面是菱形为与的交点为棱上一点证明平面平面若是中点求点平面的距离

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237510. （2020•交大附中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝PD＝2，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若E是PB中点，求点B平面EDC的距离．

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[考点]

平面与平面垂直，点、线、面间的距离计算，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
又PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD．
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）连结OE，
∵O，E分别是BD，PB的中点，∴OE∥PD，OE＝

PD＝1．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
以O为原点，以OA，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝

．
∴B（0，1，0），C（﹣

，0，0），D（0，﹣1，0），E（0，0，1）．
∴

＝（﹣

，﹣1，0），

＝（﹣

，1，0），

＝（0，1，1）．
设平面CDE的法向量为

＝（x，y，z），则

，
∴

，令x＝1得

＝（1，

，﹣

）．
∴cos＜

＞＝

＝

＝﹣

．
设BC与平面CDE所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜

＞|＝

．
∴点B到平面EDC的距离为|BC|•sinθ＝

．

[点评]

本题考查了"平面与平面垂直，点、线、面间的距离计算，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168825. （2021•西工大附中•十二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形B₁BCC₁是菱形，∠B₁BC＝60°，AB⊥BC，AB⊥BB₁，D为棱BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC＝2，求点C到平面AB₁D的距离．

共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:2

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168503. （2021•西安中学•三模）在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD＝90°，EF∥BC，EF＝

BC，AC＝2，AE＝EC＝

．
（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；
（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．

共享时间:2021-04-03 难度:2 相似度:2

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166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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169214. （2025•师大附中•高二上期末）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有棱长相等，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝∠BAD＝60°．
①证明：平面A₁AC⊥平面A₁BD；
②求直线BC₁与平面A₁AC所成角的正弦值？

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1

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169350. （2024•师大附中•高一下期末）在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1

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168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1

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169699. （2024•西安八十五中•高一下期末）如图1，平面四边形ABCD中，AB＝AC＝

，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；
（2）已知直线DE与平面ABC所成的角为

，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1

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169612. （2024•滨河中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|＝2，|BC|＝|CD|＝1，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠APB＝90°，|PA|＝|PB|．
（1）求点D到平面PAC的距离；
（2）求二面角A﹣BD﹣P的正切值．