如图在三棱柱中四边形是菱形为棱的中点求证平面平面若求点到平面的距离

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168825. （2021•西工大附中•十二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形B₁BCC₁是菱形，∠B₁BC＝60°，AB⊥BC，AB⊥BB₁，D为棱BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC＝2，求点C到平面AB₁D的距离．

共享时间:2021-07-26 难度:2

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[考点]

平面与平面垂直，点、线、面间的距离计算，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：连接B₁C，
因为四边形B₁BCC₁是菱形，∠B₁BC＝60°，所以△B₁BC是等边三角形，
又因为D为棱BC的中点，所以B₁D⊥BC，
因为AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁＝B，所以AB⊥平面B₁BCC₁，
又因为B₁D⊂平面B₁BCC₁，所以B₁D⊥AB，
又因为AB∩BC＝B，所以B₁D⊥平面ABC，
又因为B₁D⊂平面AB₁D，
所以平面AB₁D⊥平面ABC；
（2）解：因为AB＝BC＝2，所以BD＝DC＝1，BD＝2•sin60°＝

，
AD＝

＝

，
设点C到平面AB₁D的距离为h，
因为

，所以

，
即

，解得h＝

，
所以点C到平面AB₁D的距离为

．

[点评]

本题考查了"平面与平面垂直，点、线、面间的距离计算，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170418. （2022•长安区一中•高二上期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2AD，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离．

共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:2

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168503. （2021•西安中学•三模）在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD＝90°，EF∥BC，EF＝

BC，AC＝2，AE＝EC＝

．
（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；
（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．

共享时间:2021-04-03 难度:2 相似度:2

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170368. （2022•长安区一中•高二下期末）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得

，如图2．
（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；
（2）求C到平面PBE的距离．

共享时间:2022-07-05 难度:2 相似度:2

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166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5

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167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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168963. （2021•交大附中•四模）如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．