已知函数若关于的不等式的解集为求的取值范围若函数在上是减函数且对任意的总有成立求实数的范围

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232762. （2023•高新一中•高一上二月）已知函数f（x）＝4x²﹣4mx+m+2．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（a，b），求a²+b²的取值范围；
（2）若函数f（x）＝4x²﹣4mx+m+2在（﹣∞，1]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[﹣2，m+1]，总有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤64成立，求实数m的范围．

共享时间:2023-12-27 难度:2

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[考点]

二次函数的性质与图象，一元二次不等式及其应用，

[校正]

[答案]

（1）（

，+∞）．

（2）[2，4]．

[解析]

解：（1）由题意可知方程4x²﹣4mx+m+2＝0有两个不相等的实数根a，b，
所以Δ＝（﹣4m）²﹣4×4（m+2）＞0，解之得：m＞2或m＜﹣1．
由韦达定理得：a+b＝m，

．
所以

，
令

，
则当m＞2时，

，
当m＜﹣1时，

，
所以

，所以

，即a²+b²的取值范围为（

，+∞）．
（2）函数f（x）＝4x²﹣4mx+m+2的图象开口向上，且对称轴为

，
f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，
所以有

，即m≥2，则有

．
又因为对任意的x₁，x₂∈[﹣2，m+1]，总有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤f（x）_max﹣f（x）_min，
要使|f（x₁）﹣f（x₂）|≤64成立，则有f（x）_max﹣f（x）_min≤64．
在区间[﹣2，m+1]上，f（x）在

上单调递减，在

上单调递增，
又

，
所以f（x）_max＝f（﹣2）＝9m+18，

，
所以有9m+18﹣（﹣m²+m+2）≤64，即m²+8m﹣48≤0，
解之得：﹣12≤m≤4，
综上，实数m的范围是2≤m≤4．
即实数m的范围是[2，4]．

[点评]

本题考查了"二次函数的性质与图象，一元二次不等式及其应用，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171417. （2023•长安区一中•高一上期中）已知f（x）＝ax²+x﹣a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞﹣2x²﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

共享时间:2023-11-15 难度:3 相似度:1.67

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171571. （2023•滨河中学•高一上期中）设二次函数f（x）满足f（1）＝﹣3，且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（0，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程mf（x）﹣x+1＝0在区间（0，2）上有解，求实数m的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:3 相似度:1.67

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232488. （2023•铁路中学•高一上一月）已知函数y＝mx²﹣mx﹣1．
（1）若y＜0时，对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围；
（2）求关于x的不等式y＜（1﹣m）x﹣1的解集．

共享时间:2023-10-29 难度:3 相似度:1.67

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233344. （2022•西工大附中•高一上一月）已知关于x的不等式kx²﹣2x+3k＜0．
（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；
（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．

共享时间:2022-10-18 难度:1 相似度:1.5

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171696. （2023•西安八十五中•高一上期中）已知函数f（x）＝﹣4x²+4ax﹣4a﹣a²，求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

共享时间:2023-11-22 难度:1 相似度:1.5

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172140. （2022•碑林区•高一上期中）定义已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．
（1）判断函数f（x）＝x²﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；
（2）若f（x）＝x²﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

共享时间:2022-11-15 难度:1 相似度:1.5

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236599. （2017•西北大附中•高一下期末）解不等式x²﹣（a+

）x+1＜0（a≠0）

共享时间:2017-07-26 难度:1 相似度:1.5

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232219. （2023•铁一中学•高一上一月）已知函数f（x）＝x²+（2a+b）x+b．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；
（2）当a＝

时，解关于x的不等式f（x）≤0．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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232441. （2023•庆安中学（高）•高一上一月）已知函数y＝x²﹣2x﹣3．
（1）求使函数y＝x²﹣2x﹣3图象位于x轴下方的x的取值范围；
（2）若函数y＝x²﹣2x﹣3的图象在函数y＝kx﹣7的图象上方，求实数k的取值范围．

共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:1.5

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232804. （2023•高新二中•高一上一月）已知关于x的不等式ax²﹣4ax+1＞0（a∈R）．
（1）当a＝1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求a的取值范围．

共享时间:2023-10-24 难度:1 相似度:1.5

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232806. （2023•高新二中•高一上一月）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围；
（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．

共享时间:2023-10-24 难度:1 相似度:1.5

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232847. （2023•滨河中学•高一上一月）已知关于x不等式x²﹣（a+1）x+a＜0．
（1）若不等式的解集为∅，求实数a的取值集合；
（2）若不等式的解集中恰有2023个正整数，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:1.5

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232912. （2023•交大附中•高一上一月）解下列不等式：
（1）2x²+5x﹣3＜0；
（2）﹣3x²+6x﹣2≤0；

共享时间:2023-10-23 难度:1 相似度:1.5

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233006. （2023•交大附中•高一上一月）已知函数y＝2x²﹣（a+2）x+a，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求解关于x的不等式y＞0；
（2）若方程2x²﹣（a+2）x+a＝x+1有两个正实数根x₁，x₂，求

的最小值．

共享时间:2023-10-29 难度:1 相似度:1.5

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233141. （2023•师大附中•高一下二月）已知二次函数f（x）的最小值等于4，且f（0）＝f（2）＝6
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣kx，且函数g（x）在区间[1，3]上是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设函数h（x）＝f（2^x），求当x∈[﹣1，1]时，函数h（x）的值域．

共享时间:2023-06-16 难度:1 相似度:1.5

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2023-12-27

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更新:2023-12-27 01:04浏览量:23

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