问题背景如图在中点在边上则问题探究小樱遇到这样一个问题如图在中过点在内部作直线点在上且判断三条线段之间的数量关系并说明理由问题解决李大爷有块三角形农田如图笔直的小路从农田中穿过李大爷把农田分成若干块分别种上小麦和油菜其中和都种植小麦李

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197252. （2025•铁一中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，BD：DC=2：5，则S_△ABD：S_△ADC= ．
【问题探究】
（2）小樱遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A在∠BAC内部作直线AM，点E，D在AM上，且∠CEA=∠BDM=90°，判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系并说明理由．
【问题解决】
（3）李大爷有块三角形农田，如图3，笔直的小路AG从农田△ABC中穿过，李大爷把农田分成若干块分别种上小麦和油菜，其中△BDE和△ACD都种植小麦，李大爷发现AB=AC，小路AG与小路BC交于点F且BF=2CF，点E、D在小路AG上，且∠BEG=∠CDG=∠BAC．若小麦种植区△ACD里需要施肥200千克（同种农作物的施肥量和农田的面积成正比），请你帮李大爷算一下小麦种植区△BDE里需要施肥多少千克？
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共享时间:2025-05-20 难度:2

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[考点]

全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，

[答案]

（1）2：5；

（2）BD+DE＝CE，理由见解答过程；

（3）200千克．

[解析]

解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，如图1所示：
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∴S_△ABD＝

BD•AH，S_△ADC＝

DC•AH，
∴S_△ABD：S_△ADC＝BD：DC，
∵BD：DC＝2：5，
∴S_△ABD：S_△ADC＝2：5，
故答案为：2：5；
（2）BD，CE，DE三条线段之间的数量关系是：BD+DE＝CE，理由如下：
∵∠CEA＝∠BDM＝90°，
∴∠CEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD，
在△ACE和△BAD中，

，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD，CE＝AD，
∴BD+DE＝AE+DE＝AD＝CE；
（3）∵∠BEG是△ABE的外角，
∴∠BEG＝∠EAB+∠ABE，
∵∠BEG＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAB+∠ABE，
∴∠EAB+∠CAD＝∠EAB+∠ABE，
∴∠CAD＝∠ABE，
∵∠BEG+∠AEB＝180°，∠CDG+CDA＝180°，∠BEG＝∠CDG，
∴∠AEB＝∠CDA，
在△AEB和△CDA中，

，
∴△AEB≌△CDA（AAS），
∴设S_△AEB＝S_△CDA＝a，
∵BF＝2CF，
∴BF：CF＝2，
由（1）的结论得：S_△DBF：S_△DCF＝BF：CF＝2，S△ABF：S△ACF＝BF：CF＝2，
∴S_△DBF＝2S_△DCF，S△ABF＝2S△ACF，
设S_△DCF＝x，S_△DBF＝2x，
设S_△BED＝y，
∴S_△ABF＝S_△AEB+S_△BED+S_△DBF＝a+y+2x，S_△ACF＝S_△CDA+S_△DCF＝a+x，
∴a+y+2x＝2（a+x），
∴y＝a，
即S_△BED＝S_△CDA，
∵小麦种植区△ACD里需要施肥200千克，
∴小麦种植区△BDE里需要施肥200千克．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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