如图在中为的中点以为直径作交边于点过点作垂足为点求证为的切线若求的长

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190297. （2025•高新区•九上期末） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，CD=5，求DF的长．

共享时间:2025-02-02 难度:3

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[考点]

直角三角形斜边上的中线，圆周角定理，切线的判定与性质，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CED＝90°，
即DE⊥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴点E是BC的中点，
又∵点O是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝

＝8，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝

BC＝4，
在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4，
∴DE＝

＝3，
∵S_△BDE＝

DE•BE＝

BD•EF，即3×4＝5×EF，
∴EF＝

，
在Rt△DEF中，DE＝3，EF＝

，
∴DF＝

＝

．

[点评]

本题考查了"直角三角形斜边上的中线，圆周角定理，切线的判定与性质，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

4537. （2018•交大附中•模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于点E，D是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=8，求CE的长．
$德优题库$

共享时间:2018-06-06 难度:4 相似度:2

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20861. （2020•高新一中•一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:1.75

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.17

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21714. （2021•交大附中•七模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作半圆O，与BC交于点E，过点E作半圆O的切线交AC于点D．
（1）求证：∠C＝∠DEC；
（2）若∠C＝30°，CE＝8

，求BE的长．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.17

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21110. （2021•交大附中•九模）如图、AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BC、交BC延长线于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=2，DE=5，求⊙O的半径．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.17

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．