如图长方体点为的中点求证直线平面平面平面

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172270. （2022•师大附中•高一下期中）如图，长方体ABCD﹣A&₁B₁C₁D₁，AB＝AD＝1，AA₁＝2，点P为DD₁的中点．
求证：（1）直线BD₁∥平面PAC；
（2）平面BDD₁⊥平面PAC．

共享时间:2022-05-17 难度:2

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相似

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[考点]

直线与平面平行，平面与平面垂直，

[答案]

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

[解析]

证明：（1）AC∩BD＝O，连接PO，
在△BDD₁中，∵P、O分别是DD₁、BD的中点，
∴PO∥BD₁，又PO⊂平面PAC，BD₁⊄平面PAC，
∴直线BD₁∥平面PAC；
（2）∵长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，
∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，又BD∩DD₁＝D，BD⊂平面BDD₁，DD₁⊂平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD₁．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，平面与平面垂直，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167900. （2024•西安八十九中•三模）如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:2

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171982. （2023•唐南中学•高一下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．

共享时间:2023-05-27 难度:2 相似度:2

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167430. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.67

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170035. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

共享时间:2023-02-04 难度:3 相似度:1.67

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.67

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170011. （2023•西工大附中•高三上期末）如图，在四棱锥P﹣ABMN中，△PNM是边长为2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，

，C，D分别是线段AB，NP的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面ANMB⊥平面NMP；
（3）求直线CD与平面ABP所成角的正弦值．

共享时间:2023-02-15 难度:3 相似度:1.67

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167236. （2023•周至六中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

共享时间:2023-10-26 难度:3 相似度:1.67

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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166857. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA₁＝

．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（2）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（3）在棱BB₁上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1

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170188. （2023•高新一中•高一下期末）在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱

，顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O．
（1）求证：平面BCCB′⊥平面AOA′；
（2）求几何体A′﹣BCC′B′的体积．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1

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170145. （2023•铁一中学•高二下期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．